[swift刷题模板] 树状数组(BIT/FenwickTree)

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一、 算法&数据结构

1. 描述

• [python刷题模板] 树状数组

二、 模板代码

1. 单点赋值(增加)，区间求和(PURQ)

例题: 307. 区域和检索 - 数组可修改

class BIT {
    var c: [Int]
    var n: Int 
    init(_ n: Int){
        c = Array(repeating:0, count: n + 1)
        self.n = n 
    }
    func add(_ i: Int, _ v: Int){
        var i = i 
        while i <= n {
            c[i] += v 
            i += i & -i 
        }
    }
    func sum(_ i: Int) -> Int {
        var i = i 
        var s = 0 
        while i > 0 {
            s += c[i] 
            i &= i - 1
        }
        return s
    }
}

class NumArray {
    let tree: BIT 
    var nums: [Int]
    init(_ nums: [Int]) {        
        tree = BIT(nums.count + 1)
        self.nums = nums 
        for (i, v) in nums.enumerated() {
            tree.add(i + 1, v)
        }
    } 
    func update(_ index: Int, _ val: Int) {
        tree.add(index+1, val - nums[index])
        nums[index] = val
    }
    
    func sumRange(_ left: Int, _ right: Int) -> Int {
        return tree.sum(right + 1) - tree.sum(left)        
    }
}
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• 以下待施工

2. 区间更新，单点询值（RUPQ）

例题: 1589. 所有排列中的最大和
这题其实应该用差分数组，可以省一层log。思想就是树状数组的IUPQ模型。

树状数组经典案例，要用差分数组理解：
这个实际上是用树状数组维护原数组的差分数组c[i]=a[i]-a[i-1]
求原数组的值a[i]实际上是差分数组的前缀sum(c[0]…c[i]),所以get a[i]可以用sum c[i]表示,
而原数组a区间[x,y]更新+v，产生的效果是:x位置比x-1位置大了v,y+1位置比y小了v;
对差分数组c来说,产生变化的就是c[x]增加了v，c[y+1]减小了v,因为c数组代表的是a中每个数比前一个数的差。

• sum[i]代替get[i],单点求值
• 两步add(l,v)和add(r+1,-v),区间更新

3.区间更新，区间求和(RURQ)

题目: P3372 【模板】线段树 1

• 记sigma(r，i)表示r数组的前i项和。
• 我们知道，在区间求和的BIT中，实际维护了原数组a的差分数组d。
• 于是有a[n] = d[1]+d[2]+…+d[n]
• 观察式子：
  a[1]+a[2]+…+a[n]
  = (d[1]) + (d[1]+d[2]) + … + (d[1]+d[2]+…+d[n])
  = n * d[1] + (n-1) * d[2] +… +d[n]
  = n * (d[1]+d[2]+…+d[n]) - (0 * d[1]+1 * d[2]+…+(n-1) * d[n]) (式子①)
  维护一个数组d2[n]，其中d2[i] = (i-1)*d[i]
  每当修改c的时候，就同步修改一下d2，这样复杂度就不会改变

那么 sigma(a,n) = 式子①=n*sigma(d,n) - sigma(d2,n)

5. 单点更新区间求极值

例题: CF522 D. Closest Equals
这是20220923的茶。

• 相同元素组成可以看成线段，问题转化为求区间内最短线段。
• 询问离线，按r排序，计算每个线段长度，记在左端点上。
• 查询区间最小值即可。
• 正常用线段树，但是py线段树过不了，于是上网查了个树状数组的模板

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6. 单点赋值，区间询问最大（LIS II）

例题: 2407. 最长递增子序列 II
周赛T4，当时用线段树做的；实际测试线段树的表现甚至优于树状数组，奇怪极了。

7. 二维树状数组(IUPQ)

例题: 6292. 子矩阵元素加 1

• 周赛T2,这题卡一维树状数组；但是可以差分过；可以二维树状数或二维差分过。