位运算相关笔记

位运算

Part 1：基础

1. 左移：左移一位，相当于某数乘以 $2$。左移 $x$ 位,相当于该数乘以 $2^x$。

2. 右移：右移一位，相当于某数除以 $2$。右移 $x$ 位，相当于该数除以 $2^x$。

3. 与运算：按位进行“与”运算，两数同一位都为 $1$ 时结果为 $1$，否则为 $0$。$0$ 与任何数都为 $0$。

4. 或运算：按位进行“或”运算，两数同一位都为 $0$ 时结果为 $0$，否则为 $1$。

5. 非运算：按位取反。

Part 2：异或

简介

异或操作，是指两个数或者多个数之间进行的一种相同为 $0$、不同为 $1$ 的位运算。

异或操作通常用 $\oplus$ 或 ^ 表示。

运算律

• $0\oplus n=n,n\oplus n=0$

• 结合律、交换律

应用

• 交换两个数：a=a^b,b=a^b,a=a^b;

• 找到某个数

  一个数组中只有一个数出现了奇数次，其余数都出现了偶数次，如何找到这个出现奇数次的数？

  根据异或运算的性质，一个数与自己异或等于零，一个数与$0$异或等于本身可知，只需将数组中的所有数进行异或操作即可将出现偶数次的数消掉，得到出现奇数次的。

• $i\oplus 1$ 表示 $i$ 的反向边。

  证明：对于一个数 $n$，如果它是奇数，那么它异或 $1$ 等于 $n-1$；如果它是偶数，那么它异或 $1$ 等于 $n+1$。

  对于 Tarjan 求边双连通分量，有一段标记是 isb[i]=isb[i^1]=1（标记该边和它的反向边是桥 bridge），插入的时候是成对插入的（$(0,1)、(1,2)、\cdots 、(2k,2k+1)$）。

Part 3：lowbit

定义

$\text{lowbit}(n)$ 定义为非负整数 $n$ 在二进制表示下“最低位的 $1$ 及其后面的所有 $0$”构成的数值。

举个栗子，$n=10$ 的二进制表示为 $(1010{)}_2$，则 $\text{lowbit}(n)=2=(10{)}_2$。

公式

$$\text{lowbit}(n)=n\&(\sim n+1)=n\&(-n)$$

应用

$\text{lowbit}$ 运算配合 Hash，可以找出整数二进制表示下所有是 $1$ 的位，时间复杂度与 $1$ 的个数同级。

实现：不断把 $n$ 赋值为 $n-\text{lowbit}(n)$，直至 $n=0$。

举个栗子：$n=9=(1001{)}_2$，$\text{lowbit}(9)=1$。把 $n$ 赋值为 $9-\text{lowbit}(n)=8=(1000{)}_2$。$8-\text{lowbit}(8)=0$，停止循环。在这个过程中减掉了 $1$ 和 $8$，即 $n$ 每一位上的 $1$ 后补 $0$ 后的数值。取 ${\log }_{2}1$ 和 ${\log }_{2}8$，就可以知道 $n$ 的第 $1$ 位和第 $3$ 位是 $1$。

C++中的 log2 函数效率不够高，所以我们要预处理一个数组，用 Hash 代替 $\log$ 运算。

当$n$较小时，可以建立一个数组 h，令 $h[2^k]=k$。

const int maxn=1<<20;
int h[maxn+5];
for(int i=1;i<=20;i++) h[1<<i]=i;
while(cin>>n)
{
    while(n>0) cout<<h[n&-n]<<' ',n-=n&-n;
    cout<<endl;
}
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还有一种方法，建立一个长度为 $37$ 的数组 h，令 $h[2^k\mathrm{mod}37]=k$（$\forall k\in [0,35]$，$2^k\mathrm{mod}37$ 互不相等，可以取遍 $1\sim 36$）。

int h[37];
for(int i=0;i<36;i++) h[(1ll<<i)%37]=i;
while(cin>>n)
{
    while(n>0) cout<<h[(n&-n)%37]<<' ',n-=n&-n;
    cout<<endl;
}
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lowbit 运算还可用于树状数组。

更多函数

• int __builtin_ctz(unsigned int x)

  int __builtin_ctzll(unsigned long long x)

  返回 $x$ 的二进制表示下最低位的 $1$ 后边有多少个 $0$。

• int __builtin_popcount(unsigned int x)

  int __builtin_popcountll(unsigned long long x)

  返回 $x$ 的二进制表示下有多少位为 $1$。

常见操作

• 查询一个数二进制下的第 $i$ 为是不是 $1$：

  x>>i&1，如果第 $i$ 位是 $1$ 这个值是 $1$，否则是 $0$。

  常见用途：$01$ 字典树、线性基

• 枚举子集

  常用于状压。

  for(int S1=S;S1;S1=(S1-1)&S) S2=S^S1;
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  其中 $S$ 是全集，$S_1$ 是子集，$S_2$ 是 $S_1$ 的补集。

• 改变 $x$ 的第 $i$ 位

  x|=1<<(i-1);//将x第i位变成1
  x&=~(1<<(i-1));//将x第i位变成0
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• 查询 $1$ 的个数

  int popcount(int n)
  {
      int cnt=0;
      while(n) n&=(n-1),cnt++;
      return cnt;
  }
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