数学建模入门

一 数学建模简介

数学建模创办于1992年，每年一届，是首批列入“高校学科竞赛排行榜”的19项竞赛之一。2022年，来自全国及英国、马来西亚的1606所院校/校区、54257队(本科49424队、专科4833队)、超过16万人报名参赛。是目前奖项最具有含金量的竞赛之一，对于工作和研究生之旅都有着极为关键的助力。

• 人数：按小组报名参加，每组三人
• 竞赛时长：三天
• 竞赛时间：每年9月初，为期三天，提前一天晚6点开始，最后一天20时前生成MD5码，20时 至 22时之间最多只许上传参赛作品的MD5码1次（2023年是9月7日18时至9月10日20时，MD5码生成后不允许打开、查看、修改文件）
• 赛题：本科组A、B、C任选一道，专科组则在ABCDE选
• 获奖：根据当地情况定获奖名额，有些地方是固定的可以问问学长学姐
• 历年真题和更多信息：官网http://www.mcm.edu.cn/index_cn.html

二 数学建模竞赛流程

2.1 软件安装

注意保证小组内软件安装的版本一致

• MATLAB：用于复杂数据分析、算法、数据矩阵等的应用程序
• Spss：快捷的数据分析工具
• Mathtype：专业的数学公式编辑器
• Mathpix: 截取数学公式图片并转换为 LaTeX/Word 格式代码的工具，可以在文档和电子表格中快速插入数学公式
• AxGlyph: 高效的学术绘图工具

2.2 赛前准备（时间安排）

1. 赛前养足精神不熬夜
2. 安排好时间，建议最后一晚熬夜
3. 确定能够大声讨论，有插座（最好空调），无蚊虫叮咬的场地
4. 确保手机和电脑没有违反比赛规则的群聊等（资料群考试期间必须禁言）

2.3 题型选择（本科组）

2.3.1 题型分析

A题偏向物理/工程类，

• 一般来说有固定答案
• 需要使用微分方程和偏微分方程模型
• 神经网络/遗传算法等求解较优解的启发式算法一般不适用
• 热力学等物理题可以先建立一个非常简陋的模型，再根据题目中的要求逐步改进

B题由于近两年改革，题型不定， 21年化学类， 22年运筹优化类

C题偏向经管/运筹/统计/数据分析类

• 赛题较开放易读懂
• 运筹优化类问题一般没有严格最优解，结果合理即可
• 数据往往需要自己找

2.3.1 选择原则

• 若问题背景描述的语句都读不懂，则优先排除
• 先查书籍、知网、百度、谷歌，优先考虑资料较多的
• 啥都不会就选C题
• 尽量开赛后6小时内定题，不要轻易换题
• 万一做到一半发现做不出来，就开始语文建模（瞎编）

2.4 查询资料

2.4.1 搜索引擎查询技巧（Baidu）

1. 完全匹配搜索：查询词的外边加上双引号“”（中英文均可），可以让搜索标题或者内容出现完全一致的查询词

2. 标题必含关键词：查询词前加上intitle:，查询词的外边加上双引号“”
3. 搜索文档文件：例如查询词后空格再输入filetype:文件格式(doc/pdf/xls/等等)
   例如：搜索：线性规划 filetype:pdf得到的就都是pdf版的资料
4. 去掉不想要的：查询词后面加空格后加减号与关键字
   例如：搜索后不想看百度文库的东西，搜索 线性规划 filetype:pdf -百度文库

2.4.2 文献查询技巧（中国知网）

国赛一般无需查询外网的论文，从知网的硕博士论文看起，硕博论文会对研究的问题有详细的背景和基础知识介绍，可帮助我们快速理解题目

• 按照被引排序
• 使用高级检索（以神经网络在信贷策略中的应用为例）

1. 进入高级检索界面，+和-可以自定义增加和减少检索字段
2. 主题为：企业信贷
3. OR 主题为：信贷决策
4. AND 关键词：神经网络，词频设置为模糊。模糊是指输入的检索词在检索结果中出现即可，字序、字间间隔可以产生变化。
5. 检索结果可按相关度或被引排序
   
   

• 谷歌学术镜像国内不能访问谷歌学术，而镜像对一个网站内容的拷贝
• Open Access Library 文章都来自顶级著名的出版商和数据库，可以满足各个领域学者的需求，文章免费下载

2.4.3 数据查询技巧

1. 优先在知网、谷歌学术等平台搜索
2. 国家统计局最全面，月度季度年度，各地区各部门各行业，包罗万象。其他国家部门网站大多都有数据分页，如果需要可另行查找
3. awesome-public-datasetsGitHub上的一个项目， 包含了经济、地理、能源、教育等所有你能想到的领域的数据
4. EPSDATA平台有丰富的数据资源和大量分析处理过的数据结果，是收费的，不过可以申请7天的试用
5. 其他：国家信息中心， kaggle和鲸社区等等

2.5 数据预处理

2.5.1 缺失值

比赛提供的数据，发现有些单元格是null或空的

1. 删除
   当缺失太多时，例如调查人口信息，发现“年龄”这一项缺失了40%，就直接把该项指标删除

2. 均值、众数插补

• 定量数据，例如关于一群人的身高、年龄等数据，用整体的均值来补缺失
• 定性数据，例如关于一群人的性别、文化程度；某些事件调查的满意度，用出现次数最多的值补缺失
• 适用赛题： 人口的数量年龄、经济产业情况等统计数据，对个体精度要求不大的数据

3. Newton插值法

• 根据固定公式，构造近似函数，补上缺失值，普遍适用性强
• 缺点：区间边缘处的不稳定震荡，即龙格现象。不适合对导数有要求的题目
• 适用赛题：热力学温度、地形测量、定位等只追求函数值精准而不关心变化的数据

4. 样条插值法

• 用分段光滑的曲线去插值，光滑意味着曲线不仅连续，还要有连续的曲率
• 适用赛题： 零件加工，水库水流量，图像“基线漂移”，机器人轨迹等精度要求高、没有突变的数据

5. 分段插值
6. Hermite插值
   …

2.5.2 异常值

异常值是指样本中明显和其他数值差异很大的数据，例如一群人的身高数据中有个3米2的。用合适的定位法定位到异常值后，异常值的处理方法与缺失值处理相同。

2.5.2.1 正态分布法

适用题目：总体符合正态分布，例如人口数据、测量误差、生产加工质量、考试成绩等

1. 定位方法：正态分布3σ原则（正态分布的图像是中间多两边少）
   数值分布在（μ -3σ,μ+3σ）中的概率为99.73%，其中μ 为平均值， σ 为标准差
2. 求解步骤： （1）计算均值μ 和标准差σ ；
   （2）判断每个数据值是否在（μ -3σ,μ+3σ)内，不在则为异常值

2.5.2.2 画箱型图法

适用题目：普遍适用，常用于总体符合非正态分布，例如公交站人数排队论符合泊松分布。

1. 定位方法：箱型图中，把数据从小到大排序。下四分位数𝑄1是排第25%的数值，上四分位数𝑄3是排第75%的数值
   • 四分位距𝐼𝑄𝑅 = 𝑄3- 𝑄1，也就是排名第75%的减去第25%的数值
   • 与正态分布类似，设置个合理区间，在区间外的就是异常值
   • 一般设[𝑄1 − 1.5 ∗ 𝐼𝑄𝑅, 𝑄3 + 1.5 ∗ 𝐼𝑄𝑅]内为正常值

三 数学建模基本步骤

• 研究问题
• 建模：问题数学化
• 求解：算法+软件
• 讨论分析
• 撰写数模论文

3.1 什么是建模

打开《大学物理》 ，里面的某一节，就是一个建模过程。

• 有理论基础（查文献，无需知道原理）
• 有推导过程
• 有最终结论
• 以文字描述、数学公式、图像表格展现出来

3.2 数模论文结构

一篇完整的数模论文包括摘要（最重要）、问题重述、模型假设和符号说明、模型建立与求解（最长）、模型的优缺点与改进、方法、参考文献和附录。

1. 摘要（最重要）：读者看完摘要，就知道论文研究的问题、用了什么方法、求得了什么结果，以及每一部分的大致步骤
2. 问题重述：将题目简述一遍即可，并不重要。注意不要复制粘贴，避免查重
3. 模型假设和符号说明：
   • 好的假设能让你事半功倍
   • 例如某一年太阳投影问题，影子长度与地球公转也有关系，但地球公转对影长的影响远远小于自转，可在模型假设里说明“忽略公转对影长的影响”
   • 符号说明将论文中定义的重要符号列出表格说明即可
4. 模型的建立：一组公式，和对公式中每个变量的解释，就是一个模型。建立模型时，先查阅资料， 用自己的话复述一个简单的模型，再根据题目中的约束条件去一步步修改模型，把题目中的变量带入模型中去。
   模型的求解：