半球体容器漏水体积微分问题

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问题：半球体的容器中盛满水，容器底部有一个小孔，水从小孔流出。给出水体积的变化量 V 随水面高度 h 变化的微分关系式。

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在微小的时间间隔 $[t,t+\mathrm{d}t]$ 内，水面高度由 $h$ 降至 $h+\mathrm{d}h,(\mathrm{d}h<0)$，水的体积变化量近似一个扁平的圆柱，所以可以利用圆柱的体积公式($V=\pi r^{2}h$)写出 $\mathrm{d}V$ 和 $\mathrm{d}h$ 的关系：
$$\mathrm{d}V=-\pi r^2\mathrm{d}h$$
体积变化量 $\mathrm{d}V>0$，高度变化量 $\mathrm{d}h<0$，所以前面加负号。

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假设半球的高度为 $1m$，底部小孔横截面的面积为 $1c{m}^2$，则可以推出水面高度 $h$ 随时间 $t$ 变化的规律，并计算水流完所需的时间：

由流体力学水从孔口流出的流量(水的体积 $V$ 对时间 $t$ 的变化率) $Q=\frac{\mathrm{d}V}{\mathrm{d}t}=kS\sqrt{2gh}$. （$k$ 为流量系数，$k=0.62$，$S$ 为孔口横截面积，$g$ 为重力加速度。）

$t$ 时刻水面半径：$r=\sqrt{1^2-(1-h^2)}=\sqrt{2h-h^2}$，代入以上微分关系式：
$$\mathrm{d}V=-\pi (2h-h^2)\mathrm{d}h$$
整合流量公式得：
$$kS\sqrt{2gh}\mathrm{d}t=-\pi (2h-h^2)\mathrm{d}h$$
上式即未知函数 $h=h(t)$ 满足的微分方程，分离变量得：
$$\mathrm{d}t=-\frac{\pi }{kS\sqrt{2g}}(2h^{\frac{1}{2}}-h^{\frac{3}{2}})\mathrm{d}h$$
等式两端同时求积分得：
$$t=-\frac{\pi }{kS\sqrt{2g}}(\frac{4}{3}{h}^{\frac{3}{2}}-\frac{2}{5}{h}^{\frac{5}{2}}+\mathrm{C})$$
代入初值条件：$h{|}_{t=0}=1$ 得：$\mathrm{C}=-\frac{14}{15}$.

于是有：
$$t=\frac{14\pi }{15kS\sqrt{2g}}(1-\frac{10}{7}{h}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{7}{h}^{\frac{5}{2}})$$

代入 $k=0.62,S=10^{-4}{m}^2,g=9.8m/s^2$ 得：
$$t=1.068\times 10^4(1-\frac{10}{7}{h}^{\frac{3}{2}}+\frac{3}{7}{h}^{\frac{5}{2}})$$
当水全部流出时，$h=0$，代入上式便可得水流完所需得时间为：$t=1.068\times 10^4\mathrm{s}=2\mathrm{h}58\min$.

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