DMP(Dynamic Movement Primitives)动态运动基元算法收敛性证明

一、背景知识

DMP作为轨迹生成方法的一种，具有诸多优势，如弹簧阻尼二阶系统保证了他可以收敛到目标点，且具有良好的时间和空间上的泛化能力。我最近一直在想为什么该系统可以保证运动轨迹收敛到目标点$g$，后来看了码农家园的博客以及对照论文中的内容有了一定的理解，下面给出DMP算法详细的收敛性证明。

二、从微分方程的角度出发

利用本科阶段学到的高等数学知识，我们先求解一个微分方程：
f ˙ = a f + b (1) ˙f=af+b

\tag{1} f˙​=af+b​(1)

通过高数第七章的知识，我们知道形如 $\dot{y}+P(x)y=Q(x)$ 的通解为：

y = ( ∫ Q ( x ) e ∫ P ( x ) d x d x + c ) e − ∫ P ( x ) d x y=(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c)e−∫P(x)dx

y=(∫Q(x)e∫P(x)dxdx+c)e−∫P(x)dx​
小Tip：很多人记不住这个公式，其实也不用记，只要知道去哪里查就行了，但还是说个记住这个公式的技巧吧，QP-P（扣皮掉皮，言外之意家里的墙皮，你只要扣就掉皮），Q表示Q（x），P表示P（x），因为大家记不住的是Q和P的位置。

因此，公式1中的 $P(t)=-a$，$Q(t)=b$

很容易求得公式1的解为：
f = c e a t − b a (2) f=ceat−ba

\tag{2} f=ceat−ab​​(2)

这里,$c$是一个常数,我们从解中可以看到,当$a<0$时,随着时间$t$趋向于无穷,$f$趋向于$-\frac{b}{a}$

三、DMP收敛性证明

接下来我们看DMP的核心公式:
y ¨ = α y ( β y ( g − y ) − y ˙ ) (3) ¨y=αy(βy(g−y)−˙y)

\tag{3} y¨​=αy​(βy​(g−y)−y˙​)​(3)

为了分析方便,我们先略去下标,并将系数乘进去,整理后得到:
y ¨ = a ( g − y ) − b y ˙ (4) ¨y=a(g−y)−b˙y

\tag{4} y¨​=a(g−y)−by˙​​(4)
设状态变量为$(y,\dot{y}{)}^T$,写成矩阵的形式为:
$$\begin{array}{r}\left(\begin{array}{l}\dot{y}\\ \ddot{y}\end{array}\right)=\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a& -b\end{array}\right)\cdot \left(\begin{array}{c}y\\ \dot{y}\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}0\\ ag\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(5)}$$
有没有很眼熟，是不是状态空间方程的样子！！！我们发现公式5和公式1是一样的,为了保证(5)的收敛性,我们需要(5)中系数矩阵的配置极点小于0,这可以通过选取合适的a,b值来做到.当该方程收敛时,我们类比(2)式,随着时间的推移,该方程将收敛到
$$\begin{array}{r}-{\left(\begin{array}{cc}0& 1\\ -a& -b\end{array}\right)}^{-1}\cdot \left(\begin{array}{c}0\\ ag\end{array}\right)=\left(\begin{array}{l}g\\ 0\end{array}\right)\end{array}\text{\hspace{1em}(6)}$$
也就是状态变量最后收敛到我们的目标g上,即最后到达目标点,以上的分析保证了一点:那就是采用该系统过程的DMP算法保证了最后必然会收敛到目标点.（公式6作为解是没问题的，我已验证。矩阵的逆大家如果忘记了就去查下线性代数，矩阵A的逆等于矩阵A的伴随除以A的行列式。伴随矩阵：伴随矩阵第i行第j列元素是原矩阵的第j行第i列的代数余子式，看了例子就明白了。）

根据论文Robot Learning System Based on Adaptive Neural Control and Dynamic Movement Primitives，这里参数a，b可以选择为25和10，此时方程5的状态矩阵的特征值为两个相同的负实根-5，根据现代控制中的知识，我们可以知道如果状态矩阵的特征值都为负（对应于传递函数中极点，极点全为负，系统稳定）系统是稳定的