在平面上建立直角坐标系后.就可以用一个有序数对
(
x
,
y
)
(x,y)
(x,y)来表示平面上的一个点.平面上的点按一定规则运动时就形成一条平面曲线.
描述点的运动规则就是曲线上点M的两个坐标
x
,
y
x,y
x,y之间的一个制约关系.
它可以表示为
x
,
y
x,y
x,y的一个二元方程
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F(x,y)=0,称此二元方程为曲线的方程.它是直角坐标方程.
借助于曲线的方程可以用代数方法分析曲线的某些重要性质.讨论曲线的各种应用.
运动轨迹和参数方程
常见的许多曲线往往是物体在实际运动中的轨迹.这时运动的规律经常不是接反映为物体位置的坐标
x
,
y
x,y
x,y间的关系,而表现为物体的位置随时间改变的规律.也就是位置的坐标.
x
,
y
x,y
x,y和对时间f的依赖关系.
例如.抛射体在重力作用下的运动轨道压抛物线.
为了研究抛射休的运动.要建立它的轨道曲线.要建立它的直角坐标方程.就要找到运动中物体所在位置的坐标
x
,
y
x,y
x,y的直接关系
由于抛射体运动在这方面的特征不明显,因此直接建立轨道曲线的直角坐标方程不方便
但是物体的运动直接和时间相关联,以时间
t
t
t为中介,运用物理学知识分别建立直接坐标
x
,
y
x,y
x,y与
t
t
t的关系式,就唯一确定了物体的运动轨迹,也就间接建立了
x
,
y
x,y
x,y的关系
参数方程式函数的重要表达形式
引言:简单抛射运动轨道曲线
以炮弹在理想仅由重力作用下的抛射轨道曲线(铅直平面上的平面曲线)为例
设炮弹的初速度
v
0
\bold{v_0}
v0,发射角(仰角)为
α
\alpha
α
为了描述这一运动，可以建立轨道曲线的方程．
为此先在轨道曲线所在的平面上建立直角坐标系.以火炮所在位置（炮口）为原点,地平线(水平方向）为**
x
x
x轴**，
y
y
y轴竖直向上，把时间记为
t
t
t、开始发射时，记
t
=
0
t=0
t=0
设时刻
t
t
t时,炮弹所在位置为
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y),它时轨道曲线上的动点,分别讨论
x
,
y
x,y
x,y与时间
t
t
t之间的关系
由向量知识,在
x
,
y
x,y
x,y轴方向上分解炮弹的速度向量
v
0
\bold{v}_0
v0可得
v
0
=
v
x
+
v
y
\bold{v}_0=\bold{v}_{x}+\bold{v}_{y}
v0=vx+vy,
v
x
,
v
y
\bold{v}_{x},\bold{v}_{y}
vx,vy分别表示
v
0
\bold{v}_0
v0在
x
,
y
x,y
x,y轴上的分向量
记
v
0
,
v
x
,
v
y
v_0,v_x,v_y
v0,vx,vy分别为向量
v
0
,
v
x
,
v
y
\bold{v}_0,\bold{v}_{x},\bold{v}_{y}
v0,vx,vy的大小,则
v
x
=
v
0
cos
α
v_{x}=v_0\cos\alpha
vx=v0cosα,
v
y
=
v
0
sin
α
v_y=v_0\sin\alpha
vy=v0sinα
由物理学抛射运动在水平和竖直方向位移和时间的关系得方程组(0)
x
=
v
y
t
=
v
0
cos
α
⋅
t
x=v_yt=v_0\cos{\alpha}\cdot{t}
x=vyt=v0cosα⋅t(水平方向作匀速运动)
y
=
v
y
t
−
1
2
g
t
2
=
v
0
sin
α
⋅
t
−
1
2
g
t
2
y=v_y{t}-\frac{1}{2}gt^2=v_0\sin{\alpha}\cdot{t}-\frac{1}{2}gt^2
y=vyt−21gt2=v0sinα⋅t−21gt2(竖直方向作数值上抛运动)
其中
v
0
,
α
,
g
v_0,\alpha,g
v0,α,g都是常数,而
t
t
t是参数
方程组(0)可以根据时间算出炮弹所在的位置
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y)
通过消去参数
t
t
t,可得到(0)对应的直角坐标方程
t
=
x
v
0
cos
α
t=\frac{x}{v_0\cos\alpha}
t=v0cosαx,代入
y
y
y的表达式:
y
=
−
g
2
v
0
2
cos
2
α
x
2
+
tan
α
⋅
x
y=-\frac{g}{2v_0^{2}\cos^{2}{\alpha}}x^2+\tan{\alpha}\cdot{x}
y=−2v02cos2αgx2+tanα⋅x
这显然是一个关于
x
x
x的二次方程,因此一元二次曲线称为抛物线
曲线的参数方程
一般的质点运动轨迹曲线关于时间的表示
设质点的运动规律为
x
=
f
(
t
)
x=f(t)
x=f(t)
y
=
g
(
t
)
y=g(t)
y=g(t)
t
∈
[
a
,
b
]
t\in[a,b]
t∈[a,b]
其中
f
(
t
)
,
g
(
t
)
f(t),g(t)
f(t),g(t)为
t
t
t的函数
进一步一般曲线抽象为参数方程
一般曲线的参数方程
设平面上取定了一个直角坐标系
x
O
y
xOy
xOy,把
x
,
y
x,y
x,y表示为第3个变量
t
t
t的函数
x
=
f
(
t
)
x=f(t)
x=f(t);
y
=
g
(
t
)
y=g(t)
y=g(t);
a
∈
[
a
,
b
]
a\in[a,b]
a∈[a,b](1)
若对于
t
t
t的每一个值,式(1)所确定的点
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y)都在一条曲线
C
C
C上,同时
C
C
C上的任意点
M
(
x
,
y
)
M(x,y)
M(x,y)都可以由某个
t
t
t值通过式(1)得到,则称式(1)为曲线
C
C
C的参数方程,变量
t
t
t称为参数方程的参数
消参(参数方程转换为普通方程)
若将式(1)中的参数
t
t
t消去,得到
F
(
x
,
y
)
=
0
F(x,y)=0
F(x,y)=0(2),该方程称为曲线
C
C
C的直角坐标方程(普通方程)
参数化(普通放长转换为参数方程)
曲线的直角坐标方程常常可以转化为参数方程，转化的关键是找到一个适当的参数.选用不同的参数,转换后的形式可能不同,对于一般方程
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)
常见的做法是令
t
=
x
t=x
t=x
t
=
T
(
x
)
t=T(x)
t=T(x),然后解出
x
=
x
(
t
)
x=x(t)
x=x(t),代入
y
=
f
(
x
)
y=f(x)
y=f(x)=
f
(
x
(
t
)
)
f(x(t))
f(x(t))