数据结构与算法—时间复杂度和空间复杂度

目录

1、什么是数据结构？

2、什么是算法？

3、算法的复杂度

4、时间复杂度

(1) 时间复杂度的概念：

 (2) 大O的渐进表示法： 

六个例题：

(3) 时间复杂度对比： 

三个例题： 

OJ题分析时间复杂度

5、空间复杂度

(1)常见复杂度对比

 (2)OJ题分析空间复杂度

小结

1、什么是数据结构？

数据结构 (Data Structure)  是计算机存储、组织数据的方式，指相互之间存在一种或多种特定关系的数据元素的集合。

2、什么是算法？

算法 (Algorithm  /ˈælɡərɪðəm/ ) 就是定义良好的计算过程，取一个或一组的值为输入，并产生出一个或一组值作为输出。简单来说算法就是一系列的计算步骤，用来将输入数据转化成输出结果。

3、算法的复杂度

• 算法在编写成可执行程序后，运行时需要耗费时间资源和空间(内存)资源 。因此衡量一个算法的好坏，一般是从时间和空间两个维度来衡量的，即时间复杂度和空间复杂度。
• 时间复杂度主要衡量一个算法的运行快慢，而空间复杂度主要衡量一个算法运行所需要的额外空间。在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

4、时间复杂度

(1) 时间复杂度的概念：

时间复杂度的定义：在计算机科学中， 算法的时间复杂度是一个函数 ，它定量描述了该算法的运行时间。一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例， 算法中的基本操作的执行次数，为算法 的时间复杂度 。

接着来看一个例子：请计算下面代码中Func1中 ++count 语句总共执行了多少次？

 
void Func1(int N)
{
    int count = 0;
    for (int i = 0; i < N ; ++ i)
    {
        for (int j = 0; j < N ; ++ j)
         {
             ++count;
         }
    }
 
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }

我们用时间复杂度函数式来表示：F(N)=N*N+2*N+10，稍后进行详细解释

Func1 执行不同次数时的时间复杂度 ：

 (2) 大O的渐进表示法： 

大O符号：是用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法：

1、用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2、在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。

3、如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

使用大O的渐进表示法以后，Func1的时间复杂度为：

• N = 10       F(N) = 100

• N = 100     F(N) = 10000

• N = 1000   F(N) = 1000000

通过上面我们会发现大O的渐进表示法去掉了那些对结果影响不大的项，简洁明了的表示出了执行次数。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

• 最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)

• 平均情况：任意输入规模的期望运行次数

• 最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

• 最好情况：1次找到

• 最坏情况：N次找到

• 平均情况：N/2次找到

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

六个例题：

例1：计算Func3的时间复杂度？

void Func3(int N, int M)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < M; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    for (int k = 0; k < N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了M+N次，有两个未知数M和N，时间复杂度为 O(N+M)

例2：计算Func4的时间复杂度？

void Func4(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 100; ++ k)
    {
    ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

基本操作执行了10次，通过推导大O阶方法，时间复杂度：O(1)（不是代表一次，而是代表常数次）

大O阶法规定程序运行常数次的时间复杂度为O(1)，尽管运行常数次可能很巨大，但我们不用担心，处理器的速度远超我们想象，一次和一亿次都是以瞬间完成的。

例3：计算Func2的时间复杂度？

void Func2(int N)
{
    int count = 0;
    for (int k = 0; k < 2 * N ; ++ k)
    {
        ++count;
    }
    int M = 10;
    while (M--)
    {
        ++count;
    }
    printf("%d\n", count);
}

 程序执行了2*N+10(M)次，时间复杂度： O(N) 

例4：计算strchr的时间复杂度？

const char * strchr ( const char * str, int character );

while(*str){
    if(*str == character)
        return str;
    else
        str++;
}

所以时间复杂度为str的长度： O(N) 

例5：计算BubbleSort的时间复杂度？ 

void BubbleSort(int* a, int n)
{
	assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

 这个就是冒泡排序，本质上就是等差数列，运用等差数列求和公式即可求出：

 所以时间复杂度为：N*(N-1)/2 即 N^2

例6：计算BinarySearch的时间复杂度？

int BinarySearch(int* a, int n, int x)
{
	assert(a);
	int begin = 0;
	int end = n - 1;
	// [begin, end]：begin和end是左闭右闭区间，因此有=号
	while (begin <= end)
	{
		int mid = begin + ((end - begin) >> 1);
		if (a[mid] < x)
			begin = mid + 1;
		else if (a[mid] > x)
			end = mid - 1;
		else
			return mid;
	}
	return -1;
}

这也眼熟，就是我们学过的二分查找。

我们在下图这个区间进行查找：每次查找一次区间缩小一半，也就是每查找一次除一次 2，

N / 2 / 2 / 2 / …/ 2 = 1 ，直到剩下1个元素或没有元素可查找为止。

假设找了x次，也就是除了x个2，由 2*x=N 得出：x=log2(N) （以2为底N的对数）

(3) 时间复杂度对比： 

暴力查找与二分查找的时间复杂度对比，我们能看出二分查找的效率之高：

冒泡排序与qsort(快速排序)—时间复杂度对比：

三个例题： 

 例1：计算阶乘递归函数Fac的时间复杂度？

long long Fac(size_t N)
{
	if (0 == N)
		return 1;
 
	return Fac(N - 1) * N;
}

这是一个递归函数，运行过程如下：

运行N+1次去掉常数，则时间复杂度为：O(N) 

 例2：计算阶乘递归函数Fac的时间复杂度

运行过程如下，时间复杂度为：O(N^2)

例3：计算斐波那契递归Fib的时间复杂度？ 

long long Fib(size_t N)
{
	if (N < 3)
		return 1;
 
	return Fib(N - 1) + Fib(N - 2);
}

这个递归函数运行的过程如下：

可以看出斐波那契数列本质就是一个等比数列，虽然在最后Fib(2)无法往下分，但计算时间复杂度可以忽略这一块，它对复杂度的影响很小。

接下来我们可以使用等比数列求和公式：

用求和公式计算有点麻烦，这里推荐使用高中所学的错位相减法进行计算：

计算过程如下： 

OJ题分析时间复杂度

接下来通过一道题来分析时间复杂度： 

第一种方法：先排序，再一次查找，如果下一个数不是上一个数加一，则上一个数加一就是消失的数字。这种方法的时间复杂度为 O(N*logN)

第二种方法：异或运算，一个数字与0进行异或运算两次还是0，如果把数组中的元素与正常0到n的元素都与一个值为零的变量进行异或，最终剩下的就是缺失的数字，也就是 x 的值。

代码如下：

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int x = 0;
    for (int i = 0; i < numsSize; i++)
        x ^= nums[i];
 
    for (int i = 0; i < numsSize + 1; i++)
        x ^= i;
 
    return x;
}

设置变量x=0，遍历数组中每个元素与 x 异或运算，然后再遍历0到n所有数字与 x 进行异或运算，最终得到缺失数字 x 。

第三种方法：利用等差数列公式求 0 到 n 的和，再减去数组中已有元素，得到消失的元素。

代码如下：

int missingNumber(int* nums, int numsSize) {
    int x = (1 + numsSize) * numsSize / 2;
 
    for (int i = 0; i < numsSize; i++)
        x -= nums[i];
 
    return x;
}

5、空间复杂度

空间复杂度也是一个数学表达式，是对一个算法在运行过程中 临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。

空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用 大O渐进表示法。

void BubbleSort(int* a, int n)
{
		assert(a);
	for (size_t end = n; end > 0; --end)
	{
		int exchange = 0;
		for (size_t i = 1; i < end; ++i)
		{
			if (a[i - 1] > a[i])
			{
				Swap(&a[i - 1], &a[i]);
				exchange = 1;
			}
		}
		if (exchange == 0)
			break;
	}
}

long long* Fibonacci(size_t n)
{
	if (n == 0)
		return NULL;
 
	long long* fibArray = (long long*)malloc((n + 1) * sizeof(long long));
	fibArray[0] = 0;
	fibArray[1] = 1;
	for (int i = 2; i <= n; ++i)
	{
		fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray[i - 2];
	}
	return fibArray;
}

long long Fac(size_t N)
{
	if (N == 0)
		return 1;
 
	return Fac(N - 1) * N;
}

(1)常见复杂度对比

 (2)OJ题分析空间复杂度

 我们有三种方法：

假设数组为

•  时间复杂度我们考虑最坏的情况，旋转一次时间复杂度为O(N)，如果有 n 个数据，要求旋转 n-1 次，则时间复杂度为N*(N-1)，也就是O(N^2)。
• 没有额外开辟新的变量，所以空间复杂度为O(1)。

1. 前n-k个逆置：这种情况下，我们需要将数组的前n-k个元素逆置。可以通过交换数组头部和尾部的元素，然后逐步向中间逼近完成逆置。时间复杂度为O((n-k)/2),空间复杂度为O(1),因为只需要有限的额外空间来保存中间变量。
2. 后k个逆置：对于后k个逆置，同样可以采用头尾交换的方式逐步逼近完成逆置。时间复杂度为O(k/2)。
3. 整体逆置：整体逆置即将整个数组逆置，可以通过两个指针分别从数组两端向中间遍历，依次交换对应位置的元素实现。时间复杂度为O(n/2)。
4. 总的时间复杂度为这三种情况的时间复杂度之和，即O((n-k)/2)+O(k/2)+O(n/2)=O(n)。

• 没有额外开辟新的变量，因为只需要有限的额外空间进行元素交换，所以空间复杂度为O(1)。

代码如下： 

void reserve(int* a,int left,int right)
{
    while(left
        int tmp = a[left];
        a[left] = a[right];
        a[right] = tmp;
        left++;
        right--;
    }
}
void rotate(int* nums, int numsSize, int k){
    if(k>numsSize)
        k%=numsSize;
    reserve(nums,numsSize-k,numsSize-1);
    reserve(nums,0,numsSize-k-1);
    reserve(nums,0,numsSize-1);
}

通过创建新的数组接收复制的元素实现旋转效果。

代码如下： 

void rotate_1(int* nums, int numsSize, int k)
{
	if (k > numsSize)
		k %= numsSize;
	int* tmp = (int*)malloc(sizeof(int) * numsSize);
	memcpy(tmp + k, nums, sizeof(int) * (numsSize - k));
	memcpy(tmp, nums + numsSize - k, sizeof(int) * (k));
	memcpy(nums, tmp, sizeof(int) * (numsSize));
	free(tmp);
	tmp = NULL;//可以不置空，出函数局部变量tmp就被销毁了
}

小结

我们通过概念讲解与实例结合，将复杂度进行了讲解，希望这篇文章对你有帮助！！！