Leetcode.122 买卖股票的最佳时机 II

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Leetcode.122 买卖股票的最佳时机 II mid

题目描述

给你一个整数数组 $prices$ ，其中 $prices[i]$ 表示某支股票第 $i$ 天的价格。

在每一天，你可以决定是否购买和/或出售股票。你在任何时候 最多 只能持有 一股 股票。你也可以先购买，然后在 同一天 出售。

返回 你能获得的 最大 利润 。

示例 1：

输入：prices = [7,1,5,3,6,4]
输出：7
解释：在第 2 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 3 天（股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
随后，在第 4 天（股票价格 = 3）的时候买入，在第 5 天（股票价格 = 6）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 6 - 3 = 3 。
总利润为 4 + 3 = 7 。

示例 2：

输入：prices = [1,2,3,4,5]
输出：4
解释：在第 1 天（股票价格 = 1）的时候买入，在第 5 天 （股票价格 = 5）的时候卖出, 这笔交易所能获得利润 = 5 - 1 = 4 。
总利润为 4 。

示例 3：

输入：prices = [7,6,4,3,1]
输出：0
解释：在这种情况下, 交易无法获得正利润，所以不参与交易可以获得最大利润，最大利润为 0 。

提示：

• $1\le prices.length\le 3\ast 10^4$
• $0\le prices[i]\le 10^4$

解法一：动态规划

由于题目要求，在任何时间我们手里最多持有一份股票，那么我们可以做出如下定义：

• 定义 $f[i][0]$ 为 第 $i$ 天 未持有股票的最大利润；
• 定义 $f[i][1]$ 为 第 $i$ 天 持有股票的最大利润；

状态转移：

• $f[i][0]=max(f[i-1][0],f[i-1][1]+prices[i])$；
• $f[i][1]=max(f[i-1][1],f[i-1][0]-prices[i])$；

最终返回的答案就是 $f[n-1][0]$。

时间复杂度： $O(n)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int f[n][2];
        memset(f,0,sizeof f);

        f[0][1] = -prices[0];
        for(int i = 1;i < n;i++){
            f[i][0] = max(f[i - 1][0] , f[i - 1][1] + prices[i]);
            f[i][1] = max(f[i - 1][1] , f[i - 1][0] - prices[i]);
        }

        return f[n - 1][0];
    }
};
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解法二：动态规划 + 优化空间

我们注意到 $f[i]$ 只与 $f[i-1]$ 有关，所以我们可以优化掉一维的空间。

• 定义 $f0$ 为 第 $i$ 天 未持有股票的最大利润；
• 定义 $f1$ 为 第 $i$ 天 持有股票的最大利润；

最终返回的答案就是 $f1$。

时间复杂度： $O(n)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size();
        int f0 = 0 , f1 = -prices[0];
        for(int i = 1;i < n;i++){
            int new_f0 = max(f0,f1 + prices[i]);
            f1 = max(f1,f0 - prices[i]);
            f0 = new_f0;
        }

        return f0;
    }
};
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解法三：贪心

我们假设从第一天到第 $n$ 天的价格为 $p_1,p_2,p_3,...,p_n$。

对于$[p_l,p_{l+1}]$，它的利润是 $p_{l+1}-p_l$，如果是负数表示是 负收益，否则就是正收益。

如果某一区间 $[p_l,p_r]$ 是 连续递增 的，那么这一区间的利润为 $p_r-p_l$，并且：

$$p_r-p_l=(p_{l+1}-p_l)+(p_{l+2}-p_{l+1})+...+(p_r-p_{r-1})$$

如果某一区间 $[p_l,p_r]$ 是 连续递减 的，因为是负收益，所以不交易。

总结： 对于任何一个 $[p_i,p_{i+1}]$，如果 $p_{i+1}-p_i>0$，那么就将其添加到总收益中；否则不添加。

时间复杂度： $O(n)$

C++代码：

class Solution {
public:
    int maxProfit(vector<int>& prices) {
        int n = prices.size() , ans = 0;
        for(int i = 1;i < n;i++){
            int p = prices[i] - prices[i - 1];
            if(p > 0) ans += p;
        }

        return ans;
    }
};
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