【数学】铅锤线法的加速——续

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初中的时候写了 这样一篇文章

不想点进去看的话，我先把结论贴在这：

二次函数与直线交于 $AB$ 两点， $C$ 为二次函数上直线下方的一点，则C点横坐标为A、B横坐标平均数时 $△BAC$ 面积最大。

然后前两天评论区有人告诉我：本质是二次函数求导

过了三年重新看这个题，就有不一样的思路qwq 简单证一下。

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设 $A(x_1,y_1),B(x_2,y_2),C(x_3,y_3)$，二次函数 $f(x)=a{x}^2$

则 $f^{\prime }(x_3)=2a{x}_3,$

$k_{AB}=\frac{y_1-y_2}{x_1-x_2}=\frac{a(x_1^2-x_2^2)}{x_1-x_2}=a(x_1+x_2)$

由图可知当 $AB$ 与过 $C$ 点的切线平行时面积最大，

$\therefore a(x_1+x_2)=f^{\prime }(x_3)=2a{x}_3,$

$x_3=\frac{x_1+x_2}{2}.$

得证。

高中范围内形如 $y^2=2px$ 的抛物线同理，把横坐标改为纵坐标即可。