2024级199管理类联考之数学基础(下篇)

平面几何(平均2题)

三角形(性质、特殊三角形、全等与相似)

• 性质
  • 由不在同一直线的三条线段首尾依次连接所组成的图形
  • 三条边、三个内角、三个定点
  • 三角形内角和为180度,外角和为360度,多边形的外角和为360度,n多边形的内角和为(n-2)*180度
  • 一个外角等于不相邻的两个内角之和
  • 任意两边之和大于第三边,任意两边之差小于第三边,即大角对大边,等角对等边
  • 三角形的两边中点的连线平行于第三边,且等于第三边边长的一半
  • 三角形面积S=1/2ah=1/2absinC
    • 当已知条件仅说明三条边的长度,那就需要使用海伦公式S=根号下p(p-a)(p-b)(p-c),其中p=1/2(a+b+c)
  • 三角形四心
    • 内心：三角形内角平分线的交点(即三角形内切圆的圆心,到三角形三边的距离相等)
    • 外心：三条边的垂直平分线的交点(三角形外接圆的圆心,到三个顶点距离相等)
    • 重心：三条中线的交点
    • 垂心：三条高线的交点
    • 等边三角形四心合一,等腰三角形底边四线合一
  • 三角形面积考点
    • 两个三角形
      • 同底等高,则面积相等
      • 同底不等高,面积比等于高之比
      • 等高不同底,面积比等于底之比
    • 蝶形定理(针对梯形)
      • 梯形ABCD中,下底与上底之比为k,即CD:AB=k:1
        • 若蝴蝶头部Sabe=S,则蝴蝶腰部Sade=Sbec=kS,蝴蝶尾部Sdec=K^2S
        • 即蝴蝶腰部*蝴蝶腰部=蝴蝶头部*蝴蝶尾部(即三部分面积成等比数列)
• 三角形分类
  • 直角三角形
    • 勾股定理(等价于外国称为毕达哥拉斯)：a^2+b^2=c^2(a^2+b^2>c^2表示锐角三角形,反之为钝角三角形)
    • 射影定理
      • 斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项,即高^2=射影1*射影2
      • 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项(直角边^2=斜边*射影)
    • 等腰直角三角形
      • 边长关系比为1:1:根号下2
      • 面积公式S=1/2a^2=1/4c^2，a为直角边,c为斜边
    • 锐角为30度的直角三角形30度对边的边长为斜边一半,三边关系为1：根号下3:2
  • 等腰三角形
    • 四线合一: 底边高、中线、垂直平分线、顶角角平分线
    • 120度的等腰三角形,三边比例为1:1：根号下3,如果腰长为a,则面积S=根号下3/4 *a^2
  • 等边三角形
    • 四心合一
    • 面积S=根号下3/4 *a^2
• 三角形全等、相似
  • 全等：两个全等三角形的对应边相等、对应角相等
    • 判定全等的充分条件
      • 两个三角形有两条边及其夹角对应相等(SAS)
      • 两个三角形有2个角及其夹边对应相等(ASA)
      • 两个三角形3条边对应相等(SSS)
  • 相似
    • 性质：两个相似三角形面积比=相似比平方
    • 判定充分条件
      • 两个三角形有一个内角对应相等,其两条夹边对应成比例
      • 两个三角形有2个内角对应相等
      • 两个三角形的3条边对应成比例

四边形(平行四边形、矩形、正方形、菱形、梯形)

• 平行四边形性质
  • 平行四边形对边相等，对角相等,对角线互相平分
  • 一对对边平行且相等的四边形
  • S平行四边形=ah(底*高),周长C=2(a+b)
• 菱形性质
  • 有一组邻边相等的平行四边形
  • 四边相等的四边形一定是四边相等的平行四边形,即菱形
  • 菱形的对角线互相垂直且平分顶角
  • S菱形=1/2L1*L2(L1、L2为两对角线的长)
• 矩形性质
  • 两对角线相等且互相平分
  • S矩形=长*宽
• 正方形性质
  • 正方形的对角线互相垂直且平分顶角
  • S=a^2
• 梯形性质
  • 一对对边平行
  • 梯形两腰中点连线称为梯形的中位线且=1/2(上底+下底)
  • S梯形=1/2(上底+下底)*高
  • 等腰梯形性质
    • 两条腰相等或者两个底角相等
    • 两条对角线相等
    • 若两对角线相互垂直,则高与中位线长度相等

圆

• 定义/性质
  • 平面上与定点o距离等于定长r的动点轨迹称为圆,点o为圆心,r为半径
  • S圆=πr^2，C圆=2πr
  • 连接圆上任意两点的线段叫做弦,经过圆心的弦叫做直径
  • 圆上任意两点间的部分叫做圆弧,大于半圆叫做优弧,小于半圆叫做劣弧
  • 定点在圆上的角,它的两边分别与圆还有另外一个交点称为圆周角
  • 一条弧所对的圆周角是它所对圆心角的一半
  • 直径所对的圆周角为90度,90度圆周角所对的弦是直径
  • 圆内两条圆弧相等,圆弧所对应的两组圆心角相等,两组圆周角也相等,即等弧对等角
  • 圆的切线与圆的半径在切点出垂直
  • 从圆外一点作圆的切线，两条切线相等
• 垂直定理
  • 垂直于弦的直径平分弦且平分弦所对应的圆弧

扇形

• 角的弧度
  • 360度=2π，180度=π...
• 扇形面积=n/360度*πr^2(n为扇形对应的圆心角角度,r为扇形半径)
• 弓形面积=S扇形-S三角形

立体几何(平均1题)

长方体

• 性质
  • 6个面,12条棱,8个角
  • V体积=abc，S面积=2(ab+ac+bc)，体对角线d=根号下a^2+b^2+c^2

正方体

• 性质
  • S面积=棱长*棱长*6=6a^2,V体积=a^3
  • 体对角线=根号下3*a同时也是正方体中最长的线段

圆柱体

• 性质
  • V体积=底面积*高=πr^2*h
  • S侧面积=2πrh,S全面积=侧面积+底面积=2πrh+2πr^2
  • L对角线=根号下(h^2+(2r)^2)

球体

• 性质
  • R为球上一点到球心的距离,直径d=2R
  • V体积=4/3πR^3
  • S表面积=4πR^2

解析几何(平均2题)

平面直角坐标系

• 重点掌握两点间距离公式以及中点公式

平面直线

• 直线的倾斜角与斜率
  • 倾斜角：直线与x轴正方向的夹角a,0<=a<=180度
  • 斜率k：反映直线的倾斜程度,记为k=tana=(y2-y1)/(x2-x1)(a!=90度)
  • 常见的两者对应关系
    • tan0=0；tan180=0；tan45=1；tan135=-1；tan60=根号下3;tan120=-根号下3
• 直线方程常见形式
  • 直线的点斜式：y-y0=k(x-x0)，表示斜率为k且过点(x0,y0)的一条直线
  • 直线的斜截式：y=kx+b表示斜率为k且与y轴相交于点(0,b)的直线,其中称b为直线的纵截距
  • 直线一般方程：ax+by+c=0(a与b不全为0)
    • 若a=0，方程为水平直线y= -c/b
    • 若b=0，方程为竖直直线x= -c/a
    • 若c=0，直线过原点(0,0)
    • 若b!=0，则方程可写为y=-a/bx-c/b,直线斜率k=-a/b,纵截距y=-c/b,横截距x=-c/a
• 两直线位置关系

• 点到直线的距离公式

• 常用的对称关系

圆(直线与圆、圆与圆关系)

• 圆的方程
  • 标准方程:以O(a,b)为圆心,r为半径的圆的方程为(x-a)^2+(y-b)^2=r^2
  • 一般方程：x^2+y^2+Dx+Ey+F=0《=》(x+D/2)^2+(y+E/2)^2=D^2+E^2-4F/4；
    • 可以得到圆心坐标O(-D/2，-E/2)，半径r=根号下(D^2+E^2-4F)/2

• 直线与圆的关系

• 圆与圆的关系

排列组合(平均1题)

加法与乘法原理

• 分类计数原理(加法原理)：完成一件事,有n类办法,每类有多种方法,那么完成这件事的方法=每一类拥有的方法进行相加求和
• 分步计数原理(乘法原理)：完成一件事,需要分成n个步骤,每步有多种方法,那么完成这件事的方法=每一步拥有的方法进行相乘求积
• 核心区别：能独立直接完成的属于分类计数(加法原理),不能直接完成需要分步完成的属于分步计数(乘法原理)

组合与组合数

排列与排列数

排列组合步骤

• 先取后排：先选取出元素,然后再进行排列元素,不要边取边排(容易做错)

• 依次进行：按照一定的先后顺序排列

• 事情完成：整个事情必须完成

排列组合秒杀思路

• 相邻问题/打包捆绑法
  • 该方法主要解决若干个元素相邻问题
  • 考题常见自然语言描述：紧挨着、相邻、一起...
  • 解题思路：优先解决特殊要求的元素,并捆绑打包成一个整体

• 不相邻方法/插空法
  • 该方法主要解决若干个元素不相邻问题
  • 考题常见自然语言描述：不挨着、不相邻、不能连续...
  • 解题思路：优先安排无任何要求的元素,再把特殊元素放入空位

• 分房法(高频考点)
  •  不同元素分配给不同的对象,对于分配对象分配的元素个数无限制
  • 考题常见自然语言描述
    • n个人去往m个不同的房间
    • 个球放入m个不同的盒子
    • n封信放入m个不同的信箱
  • 解题思路：n个不同元素(指数位置)分配给m个位置(底数位置)对象,有m^n种方法
    • 技巧：题目中只要出现"每”字,则紧跟着它的就是元素,即位于指数位置

• 隔板法
  • 相同元素分配给不同的对象,每个对象至少分到1个
  • 考题常见自然语言描述
    • ​​​​​​​n颗相同糖果分给m个小朋友,每人至少一个
    • n个相同的球分给m个不同的盒子,每个盒子至少分一个小球
    • n张相同的奖状分给m个不同的班级,每个班级至少一张奖状
  • 解题思路：n个相同元素分配给m个不同对象,有C(m-1)(n-1)种方法

• 对号不对号
  • 不对号问题
    • 2个不对号,有1种方法
    • 3个不对号,有2种方法
    • 4个不对号,有9种方法
    • 5个不对号,有44种方法

• 特殊元素问题
  • 一个元素具备两个属性或多个属性,选取时要注意全能元素的归属
  • 考题常见自然语言描述
    • ​​​​​​​某人既会英语又会法语
    • 某人既会唱歌又会跳舞
  • 解题思路：对全能元素进行分类讨论,含与不含全能元素的分类

• 局部元素定序法
  • 当把n个元素进行排序的时候,其中若有m个元素是按照一定顺序已经定序
  • 考题常见自然语言描述
    • ​​​​​​​甲乙丙从高到低
    • 甲乙丙3人按照年龄大小
  • 解题思路：此时就要把其中m个元素的顺序去掉,有多少就除以多少,定序公式=Ann/Amm

• 局部元素相同法
  • 当对n个元素进行排序时,出现m个元素是完全相同的情况
  • 考题常见自然语言描述
    • ​​​​​​​几个字母排序时出现3个A​​​​​​​
    • 挂旗时出现相同颜色的旗帜,如3面红旗
  • 解题思路：根据所有元素数量的阶乘,除以相同元素数量的阶乘,有多少除以多少,定序公式=Ann/Amm

• 分堆与分配问题(高频考点)
  • 若分堆出现相同数量的堆数,则要除以相同堆数的阶乘,以消除排序,若题目要求对元素进行分配,则一定先分堆再分配

• 成双问题/配对问题
  • 主要是以手套、袜子或鞋子等成双的物品作为对象,核心在于选取物品是否成双
    • ​​​​​​​成双问题：直接选取成双即可​​​​​​​
    • 不成双问题：先取双,再在双中取单只

概率(平均1题)

随机事件相关概念

• 随机试验
  • 实验可在相同的条件下重复进行
  • 可能结果不止一个,且所有可能结果已知
  • 每次实验出现的哪个结果是未知的
  • 如：掷骰子,观察出现的点数
• 不可能事件概率是0,必然事件概率是1,随机事件概率(0,1)
• 事件A与事件B同时发生的事件为A与B的积事件即AB
• 事件A与事件B至少有一个发生的事件为A与B的和事件即A+B

概率定义与分类

• 事件A的概率是指随机事件A发生可能性大小的度量值记作P(A)

古典概型定义与分类

• 满足古典概型的条件
  • 所有基本事件是有限个数
  • 各基本事件发生的可能性相同
• 古典概型之摸球问题/取样问题

• 古典概型之分房问题

• 古典概型之数字问题

独立事件

独立重复试验/贝努力公式

 

数据描述(平均1题)

均值与方差

 

应用题(平均5题)

比例问题

• 按比例分配：把一个数按照一定比分成若干份
• 百分数问题：表示一个数是另一个数的百分之几的数

利润问题

• 利润=售价-进价(成本)
• 利润率=利润/进价=(售价-进价)/进价
• 售价=进价*（1+利润率）【即售价是进价的(1+利润率)倍，盈亏对应利润率的正负】

工程问题

• 主要分析工作量、工作效率和工作时间三者之间关系
• 工作量=工作时间*工作效率(工作量未说明时当做1)
• 工作时间=工作量/(甲工作效率+乙工作效率+xxx工作效率...)

行程问题

相遇问题

• 两个运动物体同时由两地出发相向而行在途中相遇
• 解题思路为根据如下公式找等量关系,优先设速度
  • 相遇时间=总路程/速度(如v甲+v乙)
  • 总路程=速度和(如v甲+v乙) * 相遇时间

追击问题(环形追击时,每追上一次则多跑一圈)

• 两个运动物体作同向运动，在一定时间内后面物体追上前面物体
• 解题思路为根据如下公式找等量关系
  • 追击时间=追击路程/速度(快速-慢速)
  • 追击路程=速度(快速-慢速)*追击时间

列车问题

• 列车行驶运动要考虑列车车身长度
• 解题思路为根据如下公式找等量关系
  • 火车过桥：过桥时间=(车长+桥长) / 车速
  • 火车追击：追击时间=(甲车长+乙车长+距离) /（甲车速-乙车速）
  • 火车相遇：相遇时间=(甲车长+乙车长+距离) /（甲车速+乙车速）

行船问题

• 船只航行问题,需要注意船速和水速,顺水航行时速度为船速和水速之和,逆水航行时速度为船速与水速之差
• 解题思路为根据如下公式找等量关系
• V顺水 = V船 + V水
• V逆水 = V船 -  V水
  • (V顺水 + V逆水) / 2 = 船速
  • (V顺水 -  V逆水) / 2 = 水速

浓度问题

• 溶剂、溶质、溶液以及浓度的关系
• 根据如下公式找等量关系
  • 溶液=溶剂+溶质(核心溶质不会变)
  • 浓度=溶质/溶液*100%(核心溶质不会变)

最值问题

• 实际生活中,经常追求以最小的代价取得最大的效果或效益,即最值问题
• 表现形式就是根据方程求最大值或最小值
  • 二次函数方f(x)=ax2 + bx + c模型,利用开口和对称轴(x=-b/2a)求最值
    • a>0开口向上,有最小值,反之开口向下有最大值
    • 若知道二次函数根,则直接取两根中点处为最值
  • 均值不等式模型,利用均值不等式求最值
    • x2+y2>=2xy
    • x + y >=2根号下xy
    • 当且仅当x=y时等号成立
    • 一正(x>0,y>0),二定(即x+y或xy为定值)，三相等(x=y才会取到最值)