【算法训练-搜索算法 一】【DFS网格搜索框架】岛屿数量、岛屿的最大面积、岛屿的周长

废话不多说，喊一句号子鼓励自己：程序员永不失业，程序员走向架构！本篇Blog的主题是【搜索算法】，使用【数组】这个基本的数据结构来实现，这个高频题的站点是：CodeTop，筛选条件为：目标公司+最近一年+出现频率排序，由高到低的去牛客TOP101去找，只有两个地方都出现过才做这道题（CodeTop本身汇聚了LeetCode的来源），确保刷的题都是高频要面试考的题。

明确目标题后，附上题目链接，后期可以依据解题思路反复快速练习，题目按照题干的基本数据结构分类，且每个分类的第一篇必定是对基础数据结构的介绍。

岛屿数量

来做这道传说中的岛屿数量，我们所熟悉的 **DFS（深度优先搜索）**问题通常是在树或者图结构上进行的。而我们今天要讨论的 DFS 问题，是在一种「网格」结构中进行的。岛屿问题是这类网格 DFS 问题的典型代表。网格结构遍历起来要比二叉树复杂一些，如果没有掌握一定的方法，DFS 代码容易写得冗长繁杂

题干

解题思路

首先明确下这一类题目该如何求解：

1 网格问题的基本概念

我们首先明确一下岛屿问题中的网格结构是如何定义的，以方便我们后面的讨论。网格问题是由 m×n个小方格组成一个网格，每个小方格与其上下左右四个方格认为是相邻的，要在这样的网格上进行某种搜索。

岛屿问题是一类典型的网格问题。每个格子中的数字可能是 0 或者 1。我们把数字为 0 的格子看成海洋格子，数字为 1 的格子看成陆地格子，这样相邻的陆地格子就连接成一个岛屿

在这样一个设定下，就出现了各种岛屿问题的变种，包括岛屿的数量、面积、周长等。不过这些问题，基本都可以用 DFS 遍历来解决

2 DFS 的基本结构

网格结构要比二叉树结构稍微复杂一些，它其实是一种简化版的图结构。要写好网格上的 DFS 遍历，我们首先要理解二叉树上的 DFS 遍历方法，再类比写出网格结构上的 DFS 遍历。我们写的二叉树 DFS 遍历一般是这样的：

void traverse(TreeNode root) {
    // 判断 base case
    if (root == null) {
        return;
    }
    // 访问两个相邻结点：左子结点、右子结点
    traverse(root.left);
    traverse(root.right);
}
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可以看到，二叉树的 DFS 有两个要素：「访问相邻结点」和「判断 base case」。

• 第一个要素是访问相邻结点。二叉树的相邻结点非常简单，只有左子结点和右子结点两个。二叉树本身就是一个递归定义的结构：一棵二叉树，它的左子树和右子树也是一棵二叉树。那么我们的 DFS 遍历只需要递归调用左子树和右子树即可。

• 第二个要素是 判断 base case。一般来说，二叉树遍历的 base case 是 root == null。这样一个条件判断其实有两个含义：一方面，这表示 root 指向的子树为空，不需要再往下遍历了。另一方面，在 root == null 的时候及时返回，可以让后面的 root.left 和 root.right 操作不会出现空指针异常。

对于网格上的 DFS，我们完全可以参考二叉树的 DFS，写出网格 DFS 的两个要素：

1. 首先，网格结构中的格子有多少相邻结点？答案是上下左右四个。对于格子 (r, c) 来说（r 和 c 分别代表行坐标和列坐标），四个相邻的格子分别是 (r-1, c)、(r+1, c)、(r, c-1)、(r, c+1)。换句话说，网格结构是「四叉」的

2. 其次，网格 DFS 中的 base case 是什么？从二叉树的 base case 对应过来，应该是网格中不需要继续遍历、grid[r][c] 会出现数组下标越界异常的格子，也就是那些超出网格范围的格子

这一点稍微有些反直觉，坐标竟然可以临时超出网格的范围？这种方法我称为「先污染后治理」—— 甭管当前是在哪个格子，先往四个方向走一步再说，如果发现走出了网格范围再赶紧返回。这跟二叉树的遍历方法是一样的，先递归调用，发现 root == null 再返回。

这样，我们得到了网格 DFS 遍历的框架代码

void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
    // 判断 base case
    // 如果坐标 (r, c) 超出了网格范围，直接返回
    if (!inArea(grid, r, c)) {
        return;
    }
    // 访问上、下、左、右四个相邻结点
    dfs(grid, r - 1, c);
    dfs(grid, r + 1, c);
    dfs(grid, r, c - 1);
    dfs(grid, r, c + 1);
}

// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
    return 0 <= r && r < grid.length 
        	&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}
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3 如何避免重复遍历

网格结构的 DFS 与二叉树的 DFS 最大的不同之处在于，遍历中可能遇到遍历过的结点。这是因为，网格结构本质上是一个「图」，我们可以把每个格子看成图中的结点，每个结点有向上下左右的四条边。在图中遍历时，自然可能遇到重复遍历结点

如何避免这样的重复遍历呢？答案是标记已经遍历过的格子。以岛屿问题为例，我们需要在所有值为 1 的陆地格子上做 DFS 遍历。每走过一个陆地格子，就把格子的值改为 2，这样当我们遇到 2 的时候，就知道这是遍历过的格子了。也就是说，每个格子可能取三个值：

• 0 —— 海洋格子
• 1 —— 陆地格子（未遍历过）
• 2 —— 陆地格子（已遍历过）

我们在框架代码中加入避免重复遍历的语句：

void dfs(int[][] grid, int r, int c) {
    // 判断 base case
    if (!inArea(grid, r, c)) {
        return;
    }
    // 如果这个格子不是岛屿，直接返回
    if (grid[r][c] != 1) {
        return;
    }
    grid[r][c] = 2; // 将格子标记为「已遍历过」
    
    // 访问上、下、左、右四个相邻结点
    dfs(grid, r - 1, c);
    dfs(grid, r + 1, c);
    dfs(grid, r, c - 1);
    dfs(grid, r, c + 1);
}

// 判断坐标 (r, c) 是否在网格中
boolean inArea(int[][] grid, int r, int c) {
    return 0 <= r && r < grid.length 
        	&& 0 <= c && c < grid[0].length;
}
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代码实现

给出代码实现基本档案

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：搜索算法
技巧：无

其中数据结构、算法和技巧分别来自：

• 10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
• 10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法
• 技巧：双指针、滑动窗口、中心扩散

当然包括但不限于以上

import java.util.*;


public class Solution {
    /**
     * 代码中的类名、方法名、参数名已经指定，请勿修改，直接返回方法规定的值即可
     *
     * 判断岛屿数量
     * @param grid char字符型二维数组
     * @return int整型
     */
    public int solve (char[][] grid) {
        // 记录岛屿数量
        int count = 0;
        for (int r = 0; r < grid.length; r++) {
            for (int c = 0; c < grid[0].length; c++) {
                // 找到岛屿入口
                if (grid[r][c] == '1') {
                    // 记录岛屿数量
                    count++;
                    // 发现并设置出完整岛屿轮廓
                    dfsFind(grid, r, c);
                }
            }
        }

        return count;
    }

    private void dfsFind(char[][] grid, int r, int c) {
        // 遍历到边界则返回
        if (!isInArea(grid, r, c)) {
            return;
        }
        // 遍历到非陆地的地方直接返回【海洋以及已探索陆地】
        if (grid[r][c] != '1') {
            return;
        }
        // 遍历过的陆地设置为2，防止重复计数
        grid[r][c] = '2';

        dfsFind(grid, r, c + 1);
        dfsFind(grid, r, c - 1);
        dfsFind(grid, r + 1, c);
        dfsFind(grid, r - 1, c);
    }

    private boolean isInArea(char[][] grid, int r, int c) {
        // 判断当前坐标是否仍然在岛屿范围内
        return r >= 0 && r < grid.length && c >= 0 && c < grid[0].length;
    }
}
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复杂度分析

计算岛屿数量的问题通常通过深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来解决。以下是使用深度优先搜索（DFS）算法来计算岛屿数量的时间和空间复杂度分析：

时间复杂度： 在最坏情况下，DFS需要访问矩阵中的每个格子一次，因此时间复杂度为O(M*N)，其中M是矩阵的行数，N是矩阵的列数。

空间复杂度： 空间复杂度取决于递归调用的深度。在最坏情况下，如果整个矩阵都是陆地，DFS的递归深度可能达到MN，因此空间复杂度为O(MN)。通常，DFS的空间复杂度还包括了用于存储访问标记的数据结构（如一个额外的矩阵或集合），因此实际的空间复杂度可能稍微高一些。

需要注意的是，如果使用迭代而不是递归来实现DFS，可以通过使用栈来降低空间复杂度，但时间复杂度仍然是O(M*N)。

总之，岛屿数量问题的时间复杂度是O(MN)，空间复杂度通常为O(MN)，但在一些优化的情况下可以降低到O(min(M, N))。这取决于具体的实现方式和问题的输入。

岛屿的最大面积【MID】

接着岛屿数量的题，继续做与之相关的岛屿最大面积的计算

题干

解题思路

这道题目只需要对每个岛屿做 DFS 遍历，求出每个岛屿的面积就可以了。求岛屿面积的方法也很简单，代码如下，每遍历到一个格子，就把面积加一

int area(int[][] grid, int r, int c) {  
    return 1 
        + area(grid, r - 1, c)
        + area(grid, r + 1, c)
        + area(grid, r, c - 1)
        + area(grid, r, c + 1);
}

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代码实现

给出代码实现基本档案

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：搜索算法
技巧：无

其中数据结构、算法和技巧分别来自：

• 10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
• 10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法
• 技巧：双指针、滑动窗口、中心扩散

当然包括但不限于以上

class Solution {
    public int maxAreaOfIsland(int[][] grid) {
         int maxArea = 0;
        for (int r = 0; r < grid.length; r++) {
            for (int c = 0; c < grid[0].length; c++) {
                // 找到岛屿入口
                if (grid[r][c] == 1) {
                    // 发现并设置出完整岛屿轮廓
                    int area = area(grid, r, c);
                    // 比较并设置最大面积
                    maxArea = Math.max(maxArea, area);
                }
            }
        }
          return maxArea;
    }

     private int area(int[][] grid, int r, int c) {
        // 遍历到边界则返回0
        if (!isInArea(grid, r, c)) {
            return 0;
        }
        // 遍历到非陆地的地方直接返回0【海洋以及已探索陆地】
        if (grid[r][c] != 1) {
            return 0;
        }
        // 遍历过的陆地设置为2，防止重复计数
        grid[r][c] = 2;

        // 每发现一格岛屿，面积就加1 
        return 1 + area(grid, r, c + 1) +  area(grid, r, c - 1) + area(grid,
                r + 1, c) + area(grid, r - 1, c);
    }

    private boolean isInArea(int[][] grid, int r, int c) {
        // 判断当前坐标是否仍然在岛屿范围内
        return r >= 0 && r < grid.length && c >= 0 && c < grid[0].length;
    }
}
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复杂度分析

计算岛屿的最大面积通常也使用深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）来解决。以下是使用DFS算法来计算岛屿最大面积的时间和空间复杂度分析：

时间复杂度： 在最坏情况下，DFS需要访问矩阵中的每个格子一次，因此时间复杂度仍然是O(MN)，其中M是矩阵的行数，N是矩阵的列数。每次访问一个岛屿格子时，需要递归地访问与之相邻的陆地格子，但总体的时间复杂度仍然是O(MN)。

空间复杂度： 空间复杂度取决于递归调用的深度。在最坏情况下，如果整个矩阵都是陆地，DFS的递归深度可能达到MN，因此空间复杂度为O(MN)。通常，DFS的空间复杂度还包括了用于存储访问标记的数据结构（如一个额外的矩阵或集合），因此实际的空间复杂度可能稍微高一些。

与计算岛屿数量类似，如果使用迭代而不是递归来实现DFS，可以通过使用栈来降低空间复杂度，但时间复杂度仍然是O(M*N)。

总结一下，计算岛屿的最大面积问题的时间复杂度是O(MN)，空间复杂度通常为O(MN)，但在一些优化的情况下可以降低到O(min(M, N))。这仍然取决于具体的实现方式和问题的输入。

岛屿的周长

继续用DFS网络搜索框架解这道题

题干

解题思路

岛屿的周长是计算岛屿全部的「边缘」，而这些边缘就是我们在 DFS 遍历中，dfs 函数返回的位置。观察题目示例，我们可以将岛屿的周长中的边分为两类，如下图所示。黄色的边是与网格边界相邻的周长，而蓝色的边是与海洋格子相邻的周长。

当我们的 dfs 函数因为「坐标 (r, c) 超出网格范围」返回的时候，实际上就经过了一条黄色的边；而当函数因为「当前格子是海洋格子」返回的时候，实际上就经过了一条蓝色的边。这样，我们就把岛屿的周长跟 DFS 遍历联系起来了

代码实现

给出代码实现基本档案

基本数据结构：数组
辅助数据结构：无
算法：搜索算法
技巧：无

其中数据结构、算法和技巧分别来自：

• 10 个数据结构：数组、链表、栈、队列、散列表、二叉树、堆、跳表、图、Trie 树
• 10 个算法：递归、排序、二分查找、搜索、哈希算法、贪心算法、分治算法、回溯算法、动态规划、字符串匹配算法
• 技巧：双指针、滑动窗口、中心扩散

当然包括但不限于以上

class Solution {
    public int islandPerimeter(int[][] grid) {
        int perimeter = 0;
        for (int r = 0; r < grid.length; r++) {
            for (int c = 0; c < grid[0].length; c++) {
                if (grid[r][c] == 1) {
                    perimeter = dfsLength(grid, r, c);
                }
            }
        }
        return perimeter;
    }

    private int dfsLength(int[][] grid, int r, int c) {
        // 1 函数因为「坐标 (r, c) 超出网格范围」返回，对应一条黄色的边
        if (!isInArea(grid, r, c)) {
            return 1;
        }
        // 2 分开讨论非陆地【海洋以及已探索陆地】
        // 2-1 函数因为「当前格子是海洋格子」返回，对应一条蓝色的边
        if (grid[r][c] == 0) {
            return 1;
        }
        // 2-2 函数因为「当前格子是已遍历的陆地格子」返回，和周长没关系
        if (grid[r][c] ==2 ) {
            return 0;
        }
        grid[r][c] = 2;
        // 继续向四面拓展
        return dfsLength(grid, r, c + 1) + dfsLength(grid, r, c - 1) + dfsLength(grid,
                r + 1, c) + dfsLength(grid, r - 1, c);
    }

    private boolean isInArea(int[][] grid, int r, int c) {
        return r >= 0 && r < grid.length && c >= 0 && c < grid[0].length;
    }
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复杂度分析

计算岛屿的周长通常可以在深度优先搜索（DFS）或广度优先搜索（BFS）的基础上实现。以下是使用DFS算法来计算岛屿周长的时间和空间复杂度分析：

时间复杂度： 在最坏情况下，DFS需要访问矩阵中的每个岛屿格子一次，因此时间复杂度为O(M*N)，其中M是矩阵的行数，N是矩阵的列数。对于每个岛屿格子，DFS会探索与之相邻的四个方向，所以在最坏情况下，访问一个岛屿格子的操作的时间复杂度是O(1)。

空间复杂度： 空间复杂度取决于递归调用的深度。在最坏情况下，如果整个矩阵都是陆地，DFS的递归深度可能达到MN，因此空间复杂度为O(MN)。通常，DFS的空间复杂度还包括了用于存储访问标记的数据结构（如一个额外的矩阵或集合），因此实际的空间复杂度可能稍微高一些。

与计算岛屿数量和最大面积不同，计算岛屿周长问题的时间复杂度是O(M*N)，因为它只涉及到对每个岛屿格子的一次访问和检查。

需要注意的是，虽然DFS是一种递归算法，但在实际应用中，可以考虑使用迭代的方式来实现，以避免潜在的栈溢出问题。此时，空间复杂度会有所降低。

总结一下，计算岛屿周长问题的时间复杂度是O(MN)，空间复杂度通常为O(MN)，但在一些优化的情况下可以降低到O(min(M, N))。这取决于具体的实现方式和问题的输入。

拓展知识：DFS在网格中的应用

深度优先搜索（Depth-First Search，DFS）是一种用于图遍历和搜索的算法，它可以应用于各种问题，包括在网格中的问题。在网格中，DFS通常用于解决以下类型的问题：

1. 迷宫求解：DFS可用于寻找从一个起始点到达目标点的路径。在一个网格迷宫中，你可以使用DFS来探索不同的路径，直到找到通向目标的路径或者确定没有可行的路径。

2. 岛屿计数：给定一个由陆地和水组成的网格，DFS可以用于计算陆地区域的数量。通过从一个陆地格子开始，DFS可以递归地标记与之相连的所有陆地格子，从而统计出岛屿的数量。

3. 联通分量计算：DFS还可用于计算一个网格中的连通分量数量。连通分量是指由相互连接的格子组成的区域。DFS可以用于标记和计数这些连通分量。

4. 单词搜索游戏：在字母矩阵中查找给定单词的存在是另一个DFS的应用。DFS可用于从一个字母格子出发，尝试构建单词并逐步扩展搜索路径，直到找到单词或确定不存在。

5. 图像填充：DFS可以用于图像处理，例如在图像上进行填充操作。你可以从一个起始像素开始，使用DFS来填充相邻像素，直到达到某个条件为止。

在DFS的应用中，关键是选择适当的起始点，并设计好递归函数或迭代算法，以便在网格中进行深度优先搜索。DFS通常需要使用一个数据结构来记录已经访问过的格子，以防止重复访问，通常可以使用一个集合（集合或哈希表）来实现这个目的。

需要注意的是，DFS是一种递归算法，可能会导致栈溢出问题，因此在实际应用中，可能需要考虑使用迭代的方式来实现DFS，或者使用递归的时候设置递归深度限制，以避免潜在的问题。