第九章 动态规划 part14 1143. 最长公共子序列 1035. 不相交的线 53. 最大子序和

第五十六天| 第九章 动态规划 part14 1143. 最长公共子序列 1035. 不相交的线 53. 最大子序和

一、1143. 最长公共子序列

• 题目链接：

• 题目介绍：

• 思路：

  • 本题和“最长重复子数组”区别在于**这里不要求是连续的了，但要有相对顺序**，即：“ace” 是 “abcde” 的子序列，但 “aec” 不是 “abcde” 的子序列。

  • dp五部曲：

    • （1）确定dp数组及下标含义：

      • dp[i][j]：表示的是以下标i-1为结尾的text1和以下标j-1为结尾的text2的最长公共子序列的长度
        1

    • （2）确定递推公式：

      • 本题不再要求连续，因此dp[i][j]可以由三个方向推出
        1

      • 如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了一个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
        
        如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最长公共子序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最长公共子序列，取最大的。
        
        即：dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
        1
        2
        3
        4
        5

      • 

    • （3）初始化dp数组：

      • 根据dp数组的含义，char1[0, i-1]和空数组的公共子序列长度为0；同理，char2[0, j-1]和空数组的公共子序列长度也为0。因此，dp[i][0] = 0，dp[0][j] = 0。其他位置在后续均可以覆盖，因此都初始化为0。
        1

    • （4）确定遍历顺序：

      • 根据递推公式可知是正序

  • 和重复子数组(连续公共子序列)不同，本题的最终结果是在二维dp数组的最右下角，因为根据递推公式，如果不相同还是会根据左边的和上边的推导出来。

• 代码：

class Solution {
    public int longestCommonSubsequence(String text1, String text2) {
        char[] char1 = text1.toCharArray();
        char[] char2 = text2.toCharArray();
        // (1)确定dp数组及下标含义
        // dp[i][j]：表示的是以下标i-1为结尾的text1和以下标j-1为结尾的text2的最长公共子序列的长度
        int[][] dp = new int[char1.length + 1][char2.length + 1];
        // (3)初始化dp数组
        // 根据dp数组的含义，char1[0, i-1]和空数组的公共子序列长度为0；同理，char2[0, j-1]和空数组的公共子序列长度也为0。因此，dp[i][0] = 0，dp[0][j] = 0。其他位置在后续均可以覆盖，因此都初始化为0。
        // (4)确定遍历顺序
        // 根据递推公式可知是正序
        for (int i = 1; i <= char1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= char2.length; j++) {
                // (2)确定递推公式
        		// 本题不再要求连续，因此dp[i][j]可以由三个方向推出
                if (char1[i-1] == char2[j-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        // 和重复子数组(连续公共子序列)不同，本题的最终结果是在二维dp数组的最右下角，因为根据递推公式，如果不相同还是会根据左边的和上边的推导出来。
        return dp[char1.length][char2.length];
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26

二、1035. 不相交的线

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/uncrossed-lines/

• 题目介绍：

  • 在两条独立的水平线上按给定的顺序写下 nums1 和 nums2 中的整数。

    现在，可以绘制一些连接两个数字 nums1[i] 和 nums2[j] 的直线，这些直线需要同时满足满足：

    • nums1[i] == nums2[j]
    • 且绘制的直线不与任何其他连线（非水平线）相交。

    请注意，连线即使在端点也不能相交：每个数字只能属于一条连线。

    以这种方法绘制线条，并返回可以绘制的最大连线数。

    示例 1：

    

    输入：nums1 = [1,4,2], nums2 = [1,2,4]
    输出：2
    解释：可以画出两条不交叉的线，如上图所示。 
    但无法画出第三条不相交的直线，因为从 nums1[1]=4 到 nums2[2]=4 的直线将与从 nums1[2]=2 到 nums2[1]=2 的直线相交。
    1
    2
    3
    4

• 思路：

  • 套壳的“最长公共子序列”
  • 思路和解法与上道题目是一样的

• 代码：

class Solution {
    public int maxUncrossedLines(int[] nums1, int[] nums2) {
        int[][] dp = new int[nums1.length + 1][nums2.length + 1];
        for (int i = 1; i <= nums1.length; i++) {
            for (int j = 1; j <= nums2.length; j++) {
                if (nums1[i-1] == nums2[j-1]) {
                    dp[i][j] = dp[i-1][j-1] + 1;
                } else {
                    dp[i][j] = Math.max(dp[i-1][j], dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        return dp[nums1.length][nums2.length];
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15

三、53. 最大子序和

• 题目链接：https://leetcode.cn/problems/maximum-subarray

• 题目介绍：

  • 相关企业

    给你一个整数数组 nums ，请你找出一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

    子数组 是数组中的一个连续部分。

    示例 1：

    输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
    输出：6
    解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。
    1
    2
    3

• 思路：

  • dp五部曲：

    • （1）确定dp数组及下标含义

      • dp[i]：表示的是以nums[i]为结尾的最大连续子序列之和
        1

    • （2）确定递推公式

      • dp[i]只能由两个方向推出来：
        	一个是：因为是连续的所以是dp[i-1] + nums[i]
        	另一个是：当前nums[i]
        1
        2
        3

    • （3）初始化dp数组

      • dp[0]：表示的是以nums[0]为结尾的最大连续子序列的和，所以dp[0] = nums[0]
        1

    • （4）遍历顺序：正序

• 代码：

class Solution {
    public int maxSubArray(int[] nums) {
        if (nums == null || nums.length == 0) return 0;
        int result = nums[0];
        // (1)确定dp数组及下标含义
        // dp[i]：表示的是以nums[i]为结尾的最大连续子序列之和
        int[] dp = new int[nums.length];
        // (3)初始化dp数组
        // dp[0]：表示的是以nums[0]为结尾的最大连续子序列的和，所以dp[0] = nums[0].
        dp[0] = nums[0];
        // (4)遍历顺序：正序
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            // (2)确定递推公式
            // dp[i]只能由两个方向推出来：
            //     一个是：因为是连续的所以是dp[i-1] + nums[i]
            //     另一个是：当前nums[i]
            dp[i] = Math.max(dp[i-1] + nums[i], nums[i]);
            if (dp[i] > result) result = dp[i];
        }
        return result;
    }
}
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22

总结：

• 子数组：求解的就是**连续子序列**
• 子序列：没有强调的连续，只要是子序列即可