动态规划算法（2）--最大子段和与最长公共子序列

目录

一、最大子段和

1、什么是最大子段和

2、暴力枚举

3、分治法

4、动态规划

5、追踪子段

二、最长公共子序列

1、什么是最长公共子序列

2、暴力枚举法

3、动态规划法

4、完整代码

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一、最大子段和

1、什么是最大子段和

        子段和就是数组中任意连续的一段序列的和，而最大子段和就是寻找子段和里最大的一个值。下面的解释中S[l,r]会用来表示l到r的子段和，l和r分别表示左值和右值。

        最大子段和一般有三种解决方案：暴力枚举法，分治法，动态规划法。下面将逐个介绍。

2、暴力枚举

        暴力枚举就是遍历所有的子段和，寻找最大的子段和，时间复杂度 。相对无脑，直接贴上代码。

    //暴力枚举法
    public static int maxsize_violate(ArrayListarr,int left, int right)
    {
        int max=-99999999;
        for(int i=left;i<=right;i++)
        {
            int sum=0;
            for(int j=i;j<=right;j++)
            {
                for(int k=i;k<=j;k++)
                {
                    sum+=arr.get(k);  //最大值来源
                }
                if(sum>max)
                    max=sum;
                sum=0;
            }
        }
        return max;
    }

3、分治法

        将每个问题分解为三个小问题，左一半的子段和，右一半的子段和，（必须）跨区域的子段和。

        伪代码如下，可以看到左子段和与右子段和都是递归求解（3、4），跨区域的一定是左右两个子段和最大值的和（5、6、7），最后选择左子段和、右子段和、跨域子段和中最大的子段和（8、9）。

        完整代码：

    //分治法
    public static int maxsize(ArrayListarr, int left, int right){
        int sum=0,midSum=0,leftSum=0,rightSum=0;
        int center,s1,s2,lefts,rights;
        //左右相等，返回左值
        if (left==right){    
            sum=arr.get(left);
        }
        //否则，分治法
        else {
            center=(left+right)/2;
            leftSum=maxsize(arr,left,center);         //left，l+r/2     //左区间最大值
            rightSum=maxsize(arr,center+1,right);     //l+r/2+1，right  //右区间最大值
            
            //后面都是在计算跨区域最大值（必须跨区域），一定是左区间贴近边界的最大值加右区间贴近边界的最大值相加。
            s1=0;lefts=0;                             //s1存左侧区间最大值，lefts作为temp
            for (int i=center;i>=left;i--){
                lefts+=arr.get(i);
                if (lefts>s1){
                    s1=lefts;
                }
            }
  
            s2=0;rights=0;                             //s2存右侧区间最大值，rights作为temp               
            for (int j=center+1;j<=right;j++){
                rights+=arr.get(j);
                if (rights>s2){
                    s2=rights;
                }
            }
            midSum=s1+s2;                              //中间跨域的等于左侧加右侧的
            if (midSum
                sum=leftSum;
            }
            else {
                sum=midSum;
            }
            if (sum
                sum=rightSum;
            }
 
        }
        return sum;
    }

4、动态规划

        动态规划法是自底向上推导，假设为第i个数，为包含最后一个数的连续子段和，sum为最大子段和。

        建立于下面图这个关系，假设已经有到的子段和,那么加入后一个生成只有两种可能：

（1）,那么

（2）,那么

        对于的每一个，都要与sum取最大值，保证sum为到中最大的值，返回sum。

        完整代码： 

    //动态规划法
    public static int maxsum(ArrayListarr, int n)
    {
        int sum=-999999;int b=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            if(b>0)
                b+=arr.get(i);
            else    
                b=arr.get(i);
            if(b>sum)
                sum=b;
            }
        return sum;
    }

5、追踪子段

        arr数组：初始数组

        back数组：返回最大子段和段首尾索引数组，初始化为0,0。

        当前子段满足，则段尾索引后移，若满足，则段首段尾索引都等于。当b>sum时，即当前子段和大于最大子段和时，back数组修改。

        end的更替没有问题，一定是往后改变的，整个代码由于只有一层循环，所以不会出现end向前修改的问题。

    //追踪子段和数组
    public static void track_maxsum(ArrayListarr, ArrayListback,int n)
    {
        int sum=-999999;int b=0; //sum是最大子段和，b是当前最大子段和。
        int begin=0;int end=0;
        for(int i=0;i<=n;i++)
        {
            if(b>0)
            {    
                b+=arr.get(i);
                end+=1;
            }
            else
            {
                b=arr.get(i);
                begin=end=i;
            }
            if(b>sum)
            {    
                sum=b;
                back.set(0,begin);
                back.set(1,end);
            }
        }
        
    }
    //子段输出
    public static void show(ArrayListarr,ArrayListback)
    {
        for(int i=back.get(0);i<=back.get(1);i++)
        {
            System.out.print(arr.get(i)+" ");
        }
    }

二、最长公共子序列

1、什么是最长公共子序列

        子序列是指序列中任意不一定连续但顺序的若干个字符组成的序列。如下图中Z1={B,C,A}为X的子序列，B,C,A三个字符在X中顺序出现，且不一定连续。

        公共子序列就是指两个序列之间存在一个共同的子序列，而我们就是要找到最长的一个公共子序列。

2、暴力枚举法

        暴力枚举法，不仅占用了相当大的内存存放所有子序列，和所有公共子序列，而且浪费了巨大的时间，时间复杂度指数级。

3、动态规划法

        动态规划法仍然是这种自底向上的算法，讨论前一项的最长公共子序列通过比较两个序列下一个值，判定是否进入子序列。动态规划法的时间复杂度为O（mn）。

        使用c[i][j]数组记录和的最长公共子序列长度， b[i][j]数组记录子序列的产生情况。c数组存在下面的递归结构成立，与b数组的关系如下，根据这个递推式，可以写出c和b数组的生成函数。

如何构造最长子序列？

         就是根据b数组的指引，倒推子序列，所有b[i][j]=1，也就是b数组指引为左上箭头的，都是公共序列的值，将他们按顺序串接就得到了最大子序列。

        注意一个问题，X序列是y轴方向的，Y序列是x轴方向的。 

4、完整代码

//最长公共子序列
import java.util.Scanner;
public class LCS {
    public static void main(String [] args)
    {
        
        String x=new Scanner(System.in).nextLine();
        String y=new Scanner(System.in).nextLine();
        int m=x.length();int n=y.length();
        int [][]c=new int[m+1][n+1];
        int [][]b=new int[m+1][n+1];
        LCSLength(x, y, c, b);
        
        for(int i=0;i1;i++)
        {
            for(int j=0;j1;j++)
            {
                System.out.print(c[i][j]);
                System.out.print("\t");
            }
            System.out.println("");
        }
        BuildLCS(m,n,x,b);
    }
    //最长公共子序列生成c和b数组
    public static void LCSLength(String x,String y,int [][]c,int [][]b)
    {
        int i,j;
        int m=x.length();int n=y.length();
        for(i=0;i1;i++)
            c[i][0]=0;
        for(i=0;i1;i++)
            c[0][i]=0;
        for(i=1;i1;i++)
        {
            for(j=1;j1;j++)
            {
                if(x.charAt(i-1)==y.charAt(j-1))
                {
                    
                    c[i][j]=c[i-1][j-1]+1;
                    b[i][j]=1;
                }
                else if(c[i-1][j]>=c[i][j-1])
                {
                    c[i][j]=c[i-1][j];
                    b[i][j]=2;
                }
                else
                {
                    c[i][j]=c[i][j-1];
                    b[i][j]=3;
                }
            }
        }
    }
 
    //构造最长公共子序列
    public static void BuildLCS(int i,int j,String x,int[][]b)
    {
        if(i==0|j==0)
        {
            return;
        }
        if(b[i][j]==1)
        {
            BuildLCS(i-1, j-1, x, b);
            System.out.print(x.charAt(i-1));
        }
        else if(b[i][j]==2)
        {
            BuildLCS(i-1,j,x,b);
        }
        else
        {    BuildLCS(i, j-1, x, b);
        }
    }
}