最长公共子序列（最详细的动态规划案例）

#include
#include
using namespace std;
int main()
{
    string text1,text2;
    while(cin>>text1>>text2)
    {
        //创建二维数组dp，行数text1.size()+1,列数text2.size()+1,并全部初始化为0
        vectorint>>dp=vectorint>>(text1.size()+1,vector<int>(text2.size()+1,0)); ;
        for(int i=1;i<=text1.size();i++)
        {
            for(int j=1;j<=text2.size();j++)
            {
                if(text1[i-1]==text2[j-1])
                {
                    dp[i][j]=dp[i-1][j-1]+1;
                }
                else
                {
                    dp[i][j]=max(dp[i-1][j],dp[i][j-1]);
                }
            }
        }
        cout<size()][text2.size()]<
    }
    return 0;
}

 

 1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义

dp[i][j]：⻓度为[0, i - 1]的字符串text1与⻓度为[0, j - 1]的字符串text2的最⻓公共⼦序列为dp[i][j]有同学会问：为什么要定义⻓度为[0, i - 1]的字符串text1，定义为⻓度为[0, i]的字符串text1不⾹么？这样定义是为了后⾯代码实现⽅便，如果⾮要定义为⻓度为[0, i]的字符串text1也可以，我在 动态规划： 718. 最⻓重复⼦数组 中的「拓展」⾥ 详细讲解了区别所在，其实就是简化了dp数组第⼀⾏和第⼀列的初始化逻辑。

2. 确定递推公式

主要就是两⼤情况： text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同， text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]相同，那么找到了⼀个公共元素，所以dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;

如果text1[i - 1] 与 text2[j - 1]不相同，那就看看text1[0, i - 2]与text2[0, j - 1]的最⻓公共⼦序列 和 text1[0, i - 1]与text2[0, j - 2]的最⻓公共⼦序列，取最⼤的。

即： dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);代码如下

 

if (text1[i - 1] == text2[j - 1]) 
{
    dp[i][j] = dp[i - 1][j - 1] + 1;
} 
else 
{
    dp[i][j] = max(dp[i - 1][j], dp[i][j - 1]);
}

3. dp数组如何初始化

先看看dp[i][0]应该是多少呢？

test1[0, i-1]和空串的最⻓公共⼦序列⾃然是0，所以dp[i][0] = 0

同理dp[0][j]也是0。

其他下标都是随着递推公式逐步覆盖，初始为多少都可以，那么就统⼀初始为0。

代码：

vectorint>> dp(text1.size() + 1, vector<int>(text2.size() + 1, 0));

 4. 确定遍历顺序

从递推公式，可以看出，有三个⽅向可以推出dp[i][j]，如图

那么为了在递推的过程中，这三个⽅向都是经过计算的数值，所以要从前向后，从上到下来遍历这个矩阵。

5. 举例推导dp数组

以输⼊： text1 = "abcde", text2 = "ace" 为例， dp状态如图：

最后红框dp[text1.size()][text2.size()]为最终结果

时间复杂度: O(n * m)，其中 n 和 m 分别为 text1 和 text2 的⻓度

空间复杂度: O(n * m)