关于变量
x
1
,
x
2
,
.
.
,
x
n
x_1,x_2,..,x_n
x1,x2,..,xn的实二次齐次多项式
f
(
x
1
,
.
.
,
x
n
)
=
a
11
,
x
1
2
+
2
a
12
x
1
x
2
+
.
.
.
+
2
a
1
n
x
1
x
n
+
.
.
.
+
a
n
n
x
n
2
=
∑
i
=
1
n
∑
j
=
1
n
a
i
j
x
i
x
j
f(x_1,..,x_n)=a_{11},x_1^2+2a_{12}x_1x_2+...+2a_{1n}x_1x_n+...+a_{nn}x_n^2=\sum_{i=1}^{n}\sum_{j=1}^{n}a_{ij}x_ix_j
f(x1,..,xn)=a11,x12+2a12x1x2+...+2a1nx1xn+...+annxn2=i=1∑nj=1∑naijxixj称为
n
n
n元实二次型，简称二次型.
设
A
A
A为实对称矩阵，其中
a
i
j
=
a
j
i
a_{ij}=a_{ji}
aij=aji，对于
x
=
(
x
1
,
x
2
,
.
.
.
,
x
n
)
T
x=(x_1,x_2,...,x_n)^T
x=(x1,x2,...,xn)T考虑
x
T
A
x
x^TAx
xTAx，则
f
(
x
1
,
.
.
,
x
n
)
=
x
T
A
x
f(x_1,..,x_n)=x^TAx
f(x1,..,xn)=xTAx，其中
A
A
A的主对角线上的元素为二次型平方项的系数，
A
A
A称为二次型
f
(
x
1
,
.
.
,
x
n
)
f(x_1,..,x_n)
f(x1,..,xn)的矩阵，
A
A
A的秩为二次型
f
(
x
1
,
.
.
,
x
n
)
f(x_1,..,x_n)
f(x1,..,xn)的秩。