差分方程模型：兔子繁殖问题(斐波拉契数列）

背景

兔子出生后两个月就能生小兔子，如果每月生一次且恰好生一对小兔子（雌性各一只），且出生的兔子都能成活。试问：由一对小兔子开始，一年后有多少对兔子，两年后呢？

【问题分析】

 当前记为第0个月，有1对小兔子；第1个月初还是一对（成年）兔子；第2个月月初，这对成年兔子生了一对小兔子，共2对小兔子；第3个月月初，幼兔1对，成年兔子继续生1对小兔子，也即是说第3月月初有3对兔子；第4月月初成年兔子2对各生1对小兔子，上月出生的小兔子1对，共5对小兔子；…

 【模型假设】

1. 没有资源限制，兔子数量可以自由增长
2. 没有死亡，兔子数量只增不减
3. 初始兔子数量为1

【符号说明】

t：时间，单位：月，t=0,1,2,…;

Ft:第t时间段兔子的总数量，单位（对）

【建立模型】

第t个月月初的兔子总数量=第t个月月初幼兔子的数量+第t个月月初成年兔子的数量

                                          =第t-2个月月初兔子的总数量+第t-1个月月初兔子的总数量

 由此可得于是得到一个二阶常系数线性其次差分方程【25】

其特征方程有两个不同实根所以此方程的通解为

由于F0=F1=1，求解得【26】【26】就是兔子数量随着月份变化而变化的表达式，又称为Fibonacci数列的卢卡斯(Lucas)通项。是用无理数表示有理数的范例。由于底数是无理数，计算t=12和t=24也不太方便。必须寻找另途计算。

【模型求解】

【25】改写为，进一步写成向量和矩阵【27】

由【27】进一步递推有【28】

由此可以计算