第七章，相似矩阵及其应用，5-正定二次型

玩转线性代数系列的最后一篇： 玩转线性代数(40)正定二次型的笔记，相关证明以及例子见原文

讨论：一个实二次型，既可以通过正交变换化为标准形，也可以通过拉格朗日配方法化为标准形，显然，其标准形是不唯一的．那么标准形中所含项数是确定的吗？所有系数中正(负)系数的个数是否确定？如果都是正系数，二次型什么特点？这是我们这次要讨论的主要内容．

惯性定理

1. 线性变换不唯一
   因为可以通过各种方法将二次型化为标准型，所以变换矩阵是不同的；

2. 标准形不唯一
   对标准形而言，其系数可能是特征值，也可能不是，又规范型是特殊的标准形，所以标准型不唯一．

3. 标准形中的项数不变
   二次型经可逆线性变后其矩阵为合同关系，故秩不变,所以标准形中的项数不变，是唯一的．

4. 由惯性定理给出的标准形中正负系数不变．

定理（惯性定理）

设有二次型$f=x^{T}Ax$，它的秩为r，有两个可逆变换$x=Cy$及$x=Pz$，使
$$f=k_1{y}_1^2+k_2{y}_2^2+...+k_n{y}_n^2(k_i\ne 0)$$
及
$$f={\lambda }_1{z}_1^2+{\lambda }_2{z}_2^2+...+{\lambda }_n{z}_n^2({\lambda }_i\ne 0)$$
则$k_1,k_2,...k_r$中正数的个数与${\lambda }_1,{\lambda }_2,...{\lambda }_r$中正数的个数相等。
注 1) 标准形中正系数的个数称为正惯性指数，负系数的个数称为负惯性指数。正惯性指数相同，根据总项数相同可知负惯性指数也相同。
2) 若二次型f的正惯性指数为p,秩为r，则f的规范形便可确定为：
$$f=y_1^2+...+y_p^2-y_{p+1}^2-...-y_r^2$$
若不考虑次序，按先正后负排列，可以认为规范型的形式是唯一的。

正（负）定二次型

定义

设有二次型$f=x^{T}Ax$，如果对任何$x\ne 0$，都有$f(x)>0(f(0)=0)$，则f是正定二次型，并称对称矩阵A是正定的；
如果对任何$x\ne 0$，都有$f(x)<0$，则f是负定二次型，并称对称矩阵A是负定的。

判定

标准形系数判别法

定理：实二次型$f=x^{T}Ax$为正定$\iff$它的正惯性指数等于n(它的标准形的n个系数全为正，若规范形的系数全为1)；
实二次型$f=x^{T}Ax$为负定$\iff$它的负惯性指数等于n(它的标准形的n个系数全为负，若规范形的系数全为-1)
证见原文。
推论： 对称矩阵A为正定的充要条件是：A的特征值全为正。为负定的充要条件是：A的特征值全为负。

顺次主子式判别法

郝尔维茨定理：对称矩阵A为正定的充要条件是：A的各项主子式为正，即：
a 11 > 0 , ∣ a 11 a 12 a 21 a 22 ∣ > 0 , . . . , ∣ a 11 ⋯ a 1 n ⋮ ⋮ a n 1 ⋯ a n n ∣ > 0 ; a_{11}>0, \quad

>0, \quad ... , >0; a11​>0, ​a11​a21​​a12​a22​​ ​>0,..., ​a11​⋮an1​​⋯⋯​a1n​⋮ann​​ ​>0;
对称矩阵A为负定的充要条件是：奇数阶主子式为负，偶数阶主子式为正，即：
( − 1 ) r ∣ a 11 ⋯ a 1 r ⋮ ⋮ a r 1 ⋯ a r r ∣ > 0 , ( r = 1 , 2 , . . . , n ) (-1)^r

|a11⋯a1r⋮⋮ar1⋯arr|" role="presentation" style="position: relative;">∣∣∣∣∣a11⋮ar1⋯⋯a1r⋮arr∣∣∣∣∣$$\left|\begin{array}{ccc}{a}_{11}& \cdots & a_{1r}\\ ⋮& & ⋮\\ a_{r1}& \cdots & a_{rr}\end{array}\right|$$

>0, \quad (r =1,2,...,n) (−1)r ​a11​⋮ar1​​⋯⋯​a1r​⋮arr​​ ​>0,(r=1,2,...,n)
注：若给出二次型，一般是利用此定理判断其正定性。

应用示例

优化问题，见原文