信号的傅里叶分析之傅里叶级数

1 为什么要进行傅里叶分析

信号分析方法主流方法有：
（1）时域分析：以冲激信号为基本信号，任意输入信号可分解为一系列冲激信号；
（2）频域分析：以正弦信号和虚指数信号为基本信号，将任意输入信号分解为一系列不同频率的正弦信号或者虚指数信号之和。独立变量是频率，分析是在频率空间进行的，故称为频率域分析，或者频域分析。

傅里叶分析就是将时域信号转换成频域分析，其中傅里叶分析理论包括傅里叶级数、傅里叶积分和傅里叶变换。

2 傅里叶分析之傅里叶级数

从为什么信号都能够用正弦信号表示？一文我们可知信号可以使用完备正交函数集来分解。

2.1 三角函数形式的傅里叶级数

其中三角函数集{1,$cos(n\Omega t),sin(n\Omega t),n=1,2,\cdots 1$}

设周期函数$f(t)$,其周期为T，角频率为$\Omega =2\pi /T$,满足狄里赫利条件时，可展开为三角形式傅里叶级数。
即 $$f(t)=\frac{a_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{a}_{n}cos(n\Omega t)+\sum _{n=1}^{\infty }{b}_{n}sin(n\Omega t)（1）$$
$$直流分量:\frac{a_0}{2}=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$$
$$余弦分量系数:a_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)cos(n\Omega t)dt$$$$余弦分量系数:b_n=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)sin(n\Omega t)dt$$

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$▶$直流写成$\frac{a_0}{2}???$
实际上就相当于余弦分量系数a_n取n=0时候$$直流分量:a_0=\frac{2}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)dt$$

$▶$为什么傅里叶级数的系数是这样子的？？
具体可参考保姆级推导傅里叶级数

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这个时候大家就觉得麻烦，说有两个系数自己记不住，于是就想个方法统一一下，就有余弦形式的傅里叶级数产生,周期信号可以分解为直流和许多余弦分量。
主要使用和差化积将（1）式进行$sin和cos$合并 $$f(t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)（2）$$
$$A_n=\sqrt{a_n^2+b_n^2},a_n和b_n来自（1）式$$
$${\phi }_n=-arctan\frac{b_n}{a_n}$$
其中 $A_0/2为直流分量，A_{1}cos(\Omega t+{\phi }_1)为基波或一次谐波,\cdots ,A_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)为n次谐波$
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2.2指数形式的傅里叶级数

$$f(t)=\sum _{n=-\infty }^{\infty }{F}_n{e}^{jn\Omega t}$$
$$F_n=\frac{1}{T}{\int }_{-\frac{T}{2}}^{\frac{T}{2}}f(t)e^{-jn\Omega t}dt$$
$F_n$是频率为$n\Omega$的分量的系数，其中$F_0=A_0/2$为直流分量

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推导过程：
$$已知f(t)=\frac{A_0}{2}+\sum _{n=1}^{\infty }{A}_{n}cos(n\Omega t+{\phi }_n)（2）$$
对其使用欧拉公式展开，将右边-n转换n：
f ( t ) = A 0 2 + ∑ n = 1 ∞ A n 2 [ e j ( n Ω t ) + φ n + e − j ( n Ω t ) + φ n ] = A 0 2 + 1 2 ∑ n = 1 ∞ A n e j ( n Ω t ) e φ n − 1 2 ∑ n = 1 ∞ e j ( n Ω t ) e φ n = 1 2 ∑ n = − ∞ ∞ A n e j φ n e j n Ω t

f(t)​=2A0​​+n=1∑∞​2An​​[ej(nΩt)+φn​+e−j(nΩt)+φn​]=2A0​​+21​n=1∑∞​An​ej(nΩt)eφn​−21​n=1∑∞​ej(nΩt)eφn​=21​n=−∞∑∞​An​ejφn​ejnΩt​
令复数$\frac{1}{2}{A}_n{e}^{j{\phi }_n}=\left|F_n\right|e^{j{\phi }_n}=F_n$

F n = 1 2 A n e j φ n = 1 2 ( A n c o s φ n + j A n s i n φ n ) = 1 2 ( a n − j b n ) = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) c o s ( n Ω t ) d t − j 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) s i n ( n Ω t ) d t = 1 T ∫ − T 2 T 2 f ( t ) e − j n Ω t d t

Fn​​=21​An​ejφn​=21​(An​cosφn​+jAn​sinφn​)=21​(an​−jbn​)=T1​∫−2T​2T​​f(t)cos(nΩt)dt−jT1​∫−2T​2T​​f(t)sin(nΩt)dt=T1​∫−2T​2T​​f(t)e−jnΩtdt​

3 参考网上在线资料

[1]保姆级推导傅里叶级数
[2]通俗易懂的理解傅里叶变换（一）[收藏]
[3]傅里叶级数推导与理解
[4]傅里叶系列（一）傅里叶级数的推导
[5]西安电子科技大学——信号与系统（郭宝龙）