无穷级数几个基础知识

无关的小问题：

1. 级数敛散性和积分敛散性的区别联系是什么？
2. 学习的目的是什么？最重要的目的是什么？

本文的主要内容:

1. 部分和

$$s=\sum _{i=1}^n{u}_i$$

注意：部分和不是数列的一部分之和，而是一个极限的概念，此处的n是一个极限值，$n趋于正无穷！$一定要注意。

2. 调和级数

$$1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}+...+\frac{1}{n-2}+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}\text{\hspace{1em}(1.2)}$$

调和级数可以化为如下积分式：

$${\int }_1^{+\infty }\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_1^{+\infty }=\infty \text{\hspace{1em}(此处是错误的)}$$

可见调和级数发散。

调和级数可以华为如下积分形式：

$$\begin{gathered} 1+\frac{1}{2}+\frac{1}{3}+...+\frac{1}{n-1}+\frac{1}{n}= \\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{1}{n}}+\frac{1}{\frac{2}{n}}+\frac{1}{\frac{3}{n}}+...+\frac{1}{\frac{n-1}{n}}+\frac{1}{\frac{n}{n}})= \\ \frac{1}{n}(\frac{1}{\frac{n}{n}}+\frac{1}{\frac{n-1}{n}}+...+\frac{1}{\frac{3}{n}}+\frac{1}{\frac{2}{n}}+\frac{1}{\frac{1}{n}})= \\ {\int }_0^1\frac{1}{x}dx=\ln x{|}_0^1=\infty \text{\hspace{1em}(此处是正确的)} \end{gathered}$$

调和级数是一个重要级数，是判断其他级数收敛的参考。若一个级数大于调和级数，则必定发散，若一个级数是调和级数的无穷小，则一定收敛。

2. 级数收敛的必要非充分条件

若级数${\sum }_{i=1}^{+\infty }{u}_i$收敛，则一般项$u_i$的极限为0。

此条件是级数收敛的必要条件而非充分条件。比如调和级数的一般项为0但是并不收敛。
$同时，若级数的一般项不是0，则级数必发散。$此结论可以证明。

3. 达朗贝尔判别法

$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}>1则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}<1则级数收敛 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\frac{u_{i+1}}{u_i}=1则无法判别敛散性 \end{gathered}$$

证明：
（1）若${\lim }_{i\to +\infty }\frac{u_{i+1}}{u_i}=\rho >1,即u_{i+1}>u_i,即u_{i+1}=k{u}_i,k>1$

（2）若${\lim }_{i\to +\infty }\frac{u_{i+1}}{u_i}=\rho <1,即u_{i+1}<u_i,即u_{i+1}=k{u}_i,k<1$

通过考察等比数列（几何级数）的求和公式：$$a_1\frac{1-q^n}{1-q}$$
当公比q大于1时，几何级数发散，当q小于1时几何级数收敛于$a_1\frac{1}{1-q}$。

故达朗贝尔判别法得证。

4. 柯西判别法

$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}>1则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}<1则级数收敛 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }\sqrt[n]{n}=1则无法判别敛散性 \end{gathered}$$

证明方式也参考达朗贝尔判别法。

5. 极限审敛法
$$\begin{gathered} 正向级数\sum _{i=1}^{+\infty }{u}_i \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }n{u}_i=l>0则级数发散 \\ 若\underset{i\to +\infty }{\lim }{n}^p{u}_i=l>=0(p>1)则级数收敛 \end{gathered}$$

6. p级数的敛散性

讨论p级数的敛散性：
$$1+\frac{1}{2^p}+\frac{1}{3^p}+\frac{1}{4^p}+...+\frac{1}{(n-1{)}^p}+\frac{1}{n^p}\text{\hspace{1em}(1.6)}$$

证明：

假设 0 假设p>1, 若k > x，此时有如下数学逻辑：

$$\frac{1}{k^p}<\frac{1}{x^p}$$

$$\frac{1}{k^p}={\int }_{k-1}^k\frac{1}{k^p}dx<{\int }_{k-1}^k\frac{1}{x^p}dx$$

(1.6)式可化为：
$$\begin{gathered} 1+\sum _{k=2}^n\frac{1}{k^p}= \\ 1+{\int }_1^2\frac{1}{2^p}dx+{\int }_2^3\frac{1}{3^p}dx+{\int }_3^4\frac{1}{4^p}dx+...+{\int }_{n-1}^n\frac{1}{n^p}dx< \\ 1+{\int }_1^2\frac{1}{x^p}dx+{\int }_2^3\frac{1}{x^p}dx+{\int }_3^4\frac{1}{x^p}dx+...+{\int }_{n-1}^n\frac{1}{x^p}dx=1+{\int }_1^n\frac{1}{x^p}dx= \\ 1+\frac{1}{1-p} \end{gathered}$$

因此当p>1时，级数收敛。

7. 交错级数（莱布尼茨定理）

交错级数$$u_1-u_2+u_3-u_4+...+u_{n-1}-u_n=\sum _{i=1}^{+\infty }(-1{)}^{i-1}{u}_i\text{\hspace{1em}(1.7)}$$若满足条件：
(1) $u_i\ge u_{i+1}$
(2) ${\lim }_{i\to +\infty }{u}_i=0$
则：
(1) 级数收敛
(2) 级数的和小于等于$u_1$
(3) 级数的余项的绝对值小于等于$u_{n+1}$

证明：
(1.7)式可化为：
$$u_1-（u_2-u_3)-(u_4-u_5)-...-(u_{n-1}-u_n)$$
由上式可得，括号中的每项都是正数，因此级数收敛并且级数的和小于等于$u_1$，并且 级数的余项的绝对值小于等于$u_{n+1}$。

8. 小例子

判断$\frac{n^2+n+1}{n^3+n^2+n+1}$的敛散性。

提示：根据达朗贝尔审敛法。

9. 绝对收敛和条件收敛

若级数$s={\sum }_{i=1}^n|u_i|$收敛，则级数$s={\sum }_{i=1}^n{u}_i$收敛。
证明：

假设$$v_n=\frac{1}{2}(u_n+|u_n|)$$
那么$v_n\le |u_n|且v_n\ge 0$，因为${\sum }_{n=1}^{+\infty }{u}_n$收敛，根据比较审敛定理2，可得级数${\sum }_{n=1}^{+\infty }{v}_n$收敛。这里的数学思维，一个是运用了$v_n$一般项的构造，另一个是比较审敛定理2的使用，该定理的条件是级数必须是正项级数。
另外一种思路是，构造$w_n=\frac{1}{2}(|u_n|-u_n)$，该表达式也是绝对收敛求解中较为常用的一种思路。
级数的绝对收敛和条件收敛的关系是必要非充分条件。

10. Abel定理及收敛半径的判定

Abel定理从理论上证明了幂函数收敛的条件和收敛半径的存在。

幂级数收敛半径的计算公式：

$$\rho =\frac{1}{{\lim }_{n\to +\infty }|\frac{u_{n+1}}{u_n}|}$$

若上述公式的分母为0，收敛半径为无穷；若上述公式的分母为无穷，则收敛半径为0。

本知识点的理论基础是几何级数（等比数列）。

另外，几何级数、调和级数、p级数的性质等必须掌握，否则级数学习时寸步难行。

考虑如下几个问题是否正确：

(1) 上述公式是否可以理解为：
1

$$收敛半径=\underset{n\to +\infty }{\lim }|\frac{u_n}{u_{n+1}}|？$$

(2) 上述定理的绝对收敛条件下成立，
那么非绝对收敛是否成立呢？
1
2

11. 幂级数的和，其积分和微分也是幂级数，而且跟原来的幂级数有相同的收敛半径。这一点根据收敛半径的公式可以很容易的验证。

12. 幂级数的展开以及二项式公式。不解释。