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组合数学第四讲

Generating Function（生成函数）

这里是一个普通生成函数例子，生成函数一般适用于根据递推关系式求出比较复杂的通项公式 $a_{n}$ 的

关键点：

1. $a_{n+1}$ 项可转换成G(x)- $a_{0}$ ,因为生成函数规定是从0到+∞的

2. $\sum_{n=0}^{\infty }x^{n} = 1 + x + x^{2} + ... + x^{n}$ ,当|x|<1时，最终可收敛为 $\frac{1}{1-x}$ 。这里的x可以看做整体，如 $\sum_{n=0}^{\infty }4x^{n}$ 最后收敛为 $\frac{1}{1-4x}$ ；同时也可以通过 $\frac{1}{1-x}$ 倒推出 $\sum_{n=0}^{\infty }x^{n}$

Fibonacci numbers（斐波那契数列）

下面可以用生成函数练习一下，推导一下斐波那契数列的通项公式

利用累加法可以推导出一些关于斐波那契数列的结论

Golden Ratio（黄金分割率）

发现在上面推导斐波那契数列的通项公式时，利用求根公式也求出过φ

Exponential Generating Function（指数生成函数）
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