机器学习（五）：混合高斯聚类GMM（求聚类标签）+PCA降维（3维降2维）习题

1. 使用混合高斯模型 GMM，计算如下数据点的聚类过程：
   $Data=np.array([1,2,6,7])$
   均值初值为:
   ${\mu }_1,{\mu }_2=1,5$
   权重初值为:
   $w_1,w_2=0.5,0.5$
   方差:
   $st{d}_1,st{d}_2=1,1$
   $K=2$
   10 次迭代后数据的聚类标签是多少？

采用python代码实现：

from scipy import stats
import numpy as np

#初始化数据
Data = np.array([1,2,6,7])
w1 , w2 = 0.5, 0.5
mu1 , mu2 = 1, 5
std1 , std2 = 1, 1

n = len(Data) # 样本长度
zij=np.zeros([n,2])
for t in range(10):
    # E-step 依据当前参数，计算每个数据点属于每个子分布的概率
    z1_up = w1 * stats.norm(mu1 ,std1).pdf(Data)
    z2_up = w2*stats.norm(mu2 , std2).pdf(Data)
    z_all = (w1*stats.norm(mu1 ,std1).pdf(Data)+w2*stats.norm(mu2 ,std2).pdf(Data))+0.001
    rz1 = z1_up/z_all # 为甲分布的概率
    rz2 = z2_up/z_all # 为乙分布的概率
    # M-step 依据 E-step 的结果，更新每个子分布的参数。
    mu1 = np.sum(rz1*Data)/np.sum(rz1)
    mu2 = np.sum(rz2*Data)/np.sum(rz2)
    std1 = np.sum(rz1*np.square(Data-mu1))/np.sum(rz1)
    std2 = np.sum(rz2*np.square(Data-mu2))/np.sum(rz2)
    w1 = np.sum(rz1)/n
    w2 = np.sum(rz2)/n
for i in range(n):
    zij[i][0] = rz1[i]/(rz1[i]+rz2[i])
    zij[i][1] = rz2[i]/(rz1[i]+rz2[i])

labels = np.argmax(zij, axis=1)#输出每一行的最大值，0或1  axis表示返回每一行中最大值所在列的索引
print(labels)

聚类标签输出结果：[0 0 1 1]

也就是说，10 次迭代后数据的聚类标签是1,2归为0类6,7归为1类

附注：

如果 axis 为 None，那么 np.argmax 会将数组展平为一维，然后返回最大值的索引。例如：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> np.argmax(a)
3

如果 axis 为 0，那么 np.argmax 会沿着第一个维度（行）进行最大值的查找，返回每一列中最大值所在的行索引。例如：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> np.argmax(a, axis=0)
array([1, 1])

如果 axis 为 1，那么 np.argmax 会沿着第二个维度（列）进行最大值的查找，返回每一行中最大值所在的列索引。例如：

>>> a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
>>> np.argmax(a, axis=1)
array([1, 1])

在之前问题中，np.argmax([gamma1, gamma2], axis=0) 的意思是沿着第一个维度（gamma1 和 gamma2）进行最大值的查找，返回每个数据点属于哪个子分布的概率更大。

2. 假设我们的数据集有 10 个 3 维数据, 需要用 PCA 降到 2 维特征。

   array([
       [ 3.25, 1.85, -1.29],
       [ 3.06, 1.25, -0.18],
       [ 3.46, 2.68, 0.64],
       [ 0.3 , -0.1 , -0.79],
       [ 0.83, -0.21, -0.88],
       [ 1.82, 0.99, 0.16],
       [ 2.78, 1.75, 0.51],
       [ 2.08, 1.5 , -1.06],
       [ 2.62, 1.23, 0.04],
       [ 0.83, -0.69, -0.61]])
   

   给出求解过程

解：

1. 对所有的样本进行中心化:

$$x^{(i)}=x^{(i)}-\frac{1}{m}\sum _{j=1}^m{x}^{(j)}$$

得到：

X=np.array([
     [ 1.147  0.825 -0.944]
     [ 0.957  0.225  0.166]
     [ 1.357  1.655  0.986]
     [-1.803 -1.125 -0.444]
     [-1.273 -1.235 -0.534]
     [-0.283 -0.035  0.506]
     [ 0.677  0.725  0.856]
     [-0.023  0.475 -0.714]
     [ 0.517  0.205  0.386]
     [-1.273 -1.715 -0.264]])

2. 计算样本的协方差矩阵 $X{X}^T$

covM2=np.array([[1.26344556 1.08743889 0.32030889], 
[1.08743889 1.11076111 0.31611111],
[0.32030889 0.31611111 0.45449333]])

3. 对矩阵 $X{X}^T$ 进行特征值分解

取出最大的 ${\mathrm{n}}^{\prime }$ 个特征值对应的特征向量 $(w_1,\dots ,w_{n^{\prime }})$, 将所有的特征向量标准化后，组成特征向量矩阵 $W$。

3.1求出特征值：

eigval=np.array([2.38219729 0.09637041 0.35013229])

3.2特征向量标准化：

eigvec=np.array([
[ 0.71144     0.67380165 -0.19961077],
[ 0.66498574 -0.73733944 -0.11884665],
[ 0.22725997  0.04818606  0.97264126]])

3.3取出特征值最大的2个特征值索引，也就是$[2.38,0.35]$对应的第1列和第3列：

indexes=[2 0]

3.4特征向量矩阵W：(对eigvec取了第3列和第1列)

W=np.array([
[-0.19961077  0.71144   ], 
[-0.11884665   0.66498574], 
[ 0.97264126   0.22725997]])

4. 对样本集中的每一个样本 $x^{(i)}$ , 转化为新的样本 $z^{(i)}=W^T{x}^{(i)}$ ,得到输出样本集 $D=(z^{(1)},\dots z^{(m)})$

X：3×10 W：3×2 $x\cdot W=10\times 33\times 2$ 因为输入行列转置，结果是一致的

D=np.array([
     [-1.24517539  1.15010151]
     [-0.05630956  0.86819503]
     [ 0.49146125  2.29005381]
     [ 0.06174799 -2.1317387 ]
     [-0.1185103  -1.84827733]
     [ 0.55280596 -0.10961848]
     [ 0.6112806   1.15829407]
     [-0.74632697  0.13724149]
     [ 0.24787719  0.5918589 ]
     [ 0.20114923 -2.10611029]])

代码：

import numpy as np

X=np.array([
    [ 3.25, 1.85, -1.29],
    [ 3.06, 1.25, -0.18],
    [ 3.46, 2.68, 0.64],
    [ 0.3 , -0.1 , -0.79],
    [ 0.83, -0.21, -0.88],
    [ 1.82, 0.99, 0.16],
    [ 2.78, 1.75, 0.51],
    [ 2.08, 1.5 , -1.06],
    [ 2.62, 1.23, 0.04],
    [ 0.83, -0.69, -0.61]])

def pca(X, d):
    # Centralization中心化
    means = np.mean(X, 0)
    X = X - means
    print(X)
    # Covariance Matrix 计算样本协方差矩阵
    M=len(X)
    X=np.mat(X)    
    covM2=np.cov(X.T)
    # 求出特征值，特征值分解
    eigval , eigvec = np.linalg.eig(covM2)
    indexes = np.argsort(eigval)[-d:]
    W = eigvec[:, indexes]
    return X*W
print(pca(X, 2))

附注：

np.cov()是一个用于计算协方差矩阵的函数，它可以接受一个或两个数组作为参数，返回一个二维数组，表示协方差矩阵。

协方差矩阵是一个对称矩阵，它的对角线元素表示各个变量的方差，非对角线元素表示两个变量之间的协方差。协方差反映了两个变量的线性相关程度，如果协方差为正，说明两个变量正相关；如果协方差为负，说明两个变量负相关；如果协方差为零，说明两个变量无相关性。

np.cov()的用法如下：

np.cov(m, y=None, rowvar=True, bias=False, ddof=None, fweights=None, aweights=None)

参数说明：

• m: 一个一维或二维的数组，表示多个变量和观测值。如果是一维数组，表示一个变量的观测值；如果是二维数组，每一行表示一个变量，每一列表示一个观测值。
• y: 可选参数，另一个一维或二维的数组，表示另一组变量和观测值，必须和m具有相同的形状。
• rowvar: 可选参数，布尔值，默认为True。如果为True，表示每一行代表一个变量；如果为False，表示每一列代表一个变量。
• bias: 可选参数，布尔值，默认为False。如果为False，表示计算无偏协方差（除以n-1）；如果为True，表示计算有偏协方差（除以n）。
• ddof: 可选参数，整数，默认为None。如果不为None，则覆盖由bias隐含的默认值。ddof=0表示计算有偏协方差；ddof=1表示计算无偏协方差。
• fweights: 可选参数，一维数组或整数，默认为None。表示每次观测的频率权重。
• aweights: 可选参数，一维数组，默认为None。表示每个变量的可靠性权重。

返回值：

• 一个二维数组，表示协方差矩阵。

举例说明：

import numpy as np

# 生成两组随机数据
x = np.random.randn(10)
y = np.random.randn(10)

# 计算x和y的协方差矩阵
cov_xy = np.cov(x,y)
print(cov_xy)
# 输出：
[[ 0.8136679  -0.01594772]
 [-0.01594772  0.84955963]]

# 计算x和y的相关系数矩阵
corr_xy = np.corrcoef(x,y)
print(corr_xy)
# 输出：
[[ 1.         -0.01904402]
 [-0.01904402  1.        ]]