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题解 P3426（kmp）

首先求出 $\text{next}$ 数组（记为 $nx{t}_i$）。

设 $f_i$ 表示印制 $[1,i]$ 所需最小印章，$g_i$ 表示 $[1,i]$ 的印章最长能印多长。

可以发现 $f_i$ 只会有两种值：$i,f_{nx{t}_i}$。证明如下。

• 如果 $f_i<f_{nx{t}_i}$，但 $[1,f_i]$ 必然能印制完 $[1,nx{t}_i]$，则 $f_i\ge f_{nx{t}_i}$ 矛盾。
• 如果 $f_i>f_{nx{t}_i}$ 且 $f_i\ne i$，因为在同一位置上印不同字符是不允许的，所以必然 $[1,f_i]$ 是 $[1,i]$ 的后缀，也是前缀，所以可以用 $f_i$ 更新 $nx{t}_i$ 的值，矛盾。
• 如果 $f_i>i$，显然不成立。

接下来考虑什么时候 $f_i$ 能取到 $f_{nx{t}_i}$：考虑 $g_{nx{t}_i}$，若 $g_{nx{t}_i}\ge i-nx{t}_i$，则 $f_i$ 能取到 $f_{nx{t}_i}$。在计算完 $f_i$ 的时候更新 $g_{f_i}$ 为 $i$ 即可。

//P3426
#include <cstring>
#include <cstdio>

const int N = 5e5 + 10;
int n, nxt[N], f[N], g[N];
char s[N];

int main(){
	scanf("%s", s+1);
	n = strlen(s+1);
	for(int i = 2, j = 0; i <= n; ++ i){
		while(j > 0 && s[i] != s[j+1]) j = nxt[j];
		if(s[i] == s[j+1]) ++ j;
		nxt[i] = j;
	}
	for(int i = 1; i <= n; ++ i){
		if(g[f[nxt[i]]] >= i-nxt[i]) f[i] = f[nxt[i]];
		else f[i] = i;
		g[f[i]] = i;
	}
	printf("%d\n", f[n]);
	return 0;
}
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