常见的损失函数

1. 损失函数、代价函数与目标函数

  损失函数（Loss Function）：是定义在单个样本上的，是指一个样本的误差。
  代价函数（Cost Function）：是定义在整个训练集上的，是所有样本误差的平均，也就是所有损失函数值的平均。
  目标函数（Object Function）：是指最终需要优化的函数，一般来说是经验风险+结构风险，也就是（代价函数+正则化项）。

2. 常用的损失函数

（1）0-1损失函数（0-1 loss function）　

　　　　　𝐿(𝑦,𝑓(𝑥))={1,0,𝑦≠𝑓(𝑥)𝑦=𝑓(𝑥)L(y,f(x))={1,y≠f(x)0,y=f(x) 

　　也就是说，当预测错误时，损失函数为1，当预测正确时，损失函数值为0。该损失函数不考虑预测值和真实值的误差程度。只要错误，就是1。

（2）平方损失函数（quadratic loss function）

　　　　         𝐿(𝑦,𝑓(𝑥))=(𝑦−𝑓(𝑥))2L(y,f(x))=(y−f(x))2

　　是指预测值与实际值差的平方。

（3）绝对值损失函数（absolute loss function）

　　　　　　𝐿(𝑦,𝑓(𝑥))=|𝑦−𝑓(𝑥)|L(y,f(x))=|y−f(x)|

　　该损失函数的意义和上面差不多，只不过是取了绝对值而不是求绝对值，差距不会被平方放大。

（4）对数损失函数（logarithmic loss function）

　　　　　　𝐿(𝑦,𝑝(𝑦|𝑥))=−log𝑝(𝑦|𝑥)L(y,p(y|x))=−log⁡p(y|x)

　　这个损失函数就比较难理解了。事实上，该损失函数用到了极大似然估计的思想。P(Y|X)通俗的解释就是：在当前模型的基础上，对于样本X，其预测值为Y，也就是预测正确的概率。由于概率之间的同时满足需要使用乘法，为了将其转化为加法，我们将其取对数。最后由于是损失函数，所以预测正确的概率越高，其损失值应该是越小，因此再加个负号取个反。

（5）Hinge loss

  Hinge loss一般分类算法中的损失函数，尤其是SVM，其定义为：

　　　　𝐿(𝑤,𝑏)=𝑚𝑎𝑥{0,1−𝑦𝑓(𝑥)}L(w,b)=max{0,1−yf(x)}

　　其中𝑦=+1或𝑦=−1y=+1或y=−1,𝑓(𝑥)=𝑤𝑥+𝑏f(x)=wx+b，当为SVM的线性核时。

3. 常用的代价函数

（1） 均方误差（Mean Squared Error） 

               　　𝑀𝑆𝐸=1𝑁∑𝑁𝑖=1(𝑦(𝑖)−𝑓(𝑥(𝑖)))2MSE=1N∑i=1N(y(i)−f(x(i)))2

　　均方误差是指参数估计值与参数真值之差平方的期望值; MSE可以评价数据的变化程度，MSE的值越小，说明预测模型描述实验数据具有更好的精确度。（ i 表示第 i 个样本，N表示样本总数）

　　通常用来做回归问题的代价函数。

（2）均方根误差  

       　　　　𝑅𝑀𝑆𝐸=1𝑁∑𝑁𝑖=1(𝑦(𝑖)−𝑓(𝑥(𝑖)))‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾‾√

　　均方根误差是均方误差的算术平方根，能够直观观测预测值与实际值的离散程度。
  通常用来作为回归算法的性能指标。

（3）平均绝对误差（Mean Absolute Error）  

　　　　　　𝑀𝐴𝐸=1𝑁∑𝑁𝑖=1|𝑦(𝑖)−𝑓(𝑥(𝑖))|

　　平均绝对误差是绝对误差的平均值 ，平均绝对误差能更好地反映预测值误差的实际情况。
  通常用来作为回归算法的性能指标。

（4）交叉熵代价函数（Cross Entry）  

　　　　　　    𝐻(𝑝,𝑞)=−∑𝑁𝑖=1𝑝(𝑥(𝑖))log𝑞(𝑥(−𝑖))

　　交叉熵是用来评估当前训练得到的概率分布与真实分布的差异情况，减少交叉熵损失就是在提高模型的预测准确率。其中 p(x)是指真实分布的概率， q(x) 是模型通过数据计算出来的概率估计。
  比如对于二分类模型的交叉熵代价函数（可参考逻辑回归一节）：

　　　　　　　　𝐿(𝑤,𝑏)=−1𝑁∑𝑁𝑖=1(𝑦(𝑖)log𝑓(𝑥(𝑖))+(1−𝑦(𝑖))log(1−𝑓(𝑥(𝑖))))L(w,b)=−1N∑i=1N(y(i)log⁡f(x(i))+(1−y(i))log⁡(1−f(x(i))))

  其中 f(x)可以是sigmoid函数。或深度学习中的其它激活函数。而 y(i)∈0,1。
  通常用做分类问题的代价函数。

平方损失函数的缺点：

1.在激活函数是sigmoid之类的函数的时候，用平方损失的话会导致误差比较小的时候梯度很小，这样就没法继续训练了，这时使用交叉熵损失就可以避免这种衰退。如果是线性输出或别的激活函数神经元的话完全可以用平方损失。

2.

 

文章转自: https://www.cnblogs.com/lliuye/p/9549881.html

参考链接：交叉熵损失函数相比平方差损失函数的优点？ - 知乎

参考链接：几种常见的损失函数 - 理想几岁 - 博客园