多元正态分布-参数估计-书后习题回顾总结

重点考察知识点汇总

1. 协方差矩阵
   

• 协方差矩阵为对称矩阵
• 协方差矩阵的对角线为各分量的方差，其余位置$(i,j)$表示的是分量$i$和分量$j$的协方差

2. 多元正态分布的线性组合仍然服从多元正态分布
   设$X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$，$B$为$s\times p$常数矩阵，$d$为$s$维常向量，令$Z=BX+d$，则$Z\sim N_s(B\mu +d,B\Sigma B^T)$

3. 多元条件正态分布
   
   学会分块

4. 两个随机向量相互独立的充分必要条件
   协方差为0

5. 协方差的性质
   

6. 正交矩阵的性质：该矩阵的转置 等于 该矩阵的逆矩阵

7. 转置的性质：
   

8. 多元正态分布$\mu$,$\Sigma$的最大似然估计公式
   
   

9. 常用矩阵微分
   

10. 极大似然估计函数 取对数后 再分别对$\mu$和$\Sigma$求微分的结论
    

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2-1

题目

理论基础

设$X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$，$B$为$s\times p$常数矩阵，$d$为$s$维常向量，令$Z=BX+d$，则$Z\sim N_s(B\mu +d,B\Sigma B^T)$

具体解题

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2-4

题目

理论基础

协方差矩阵的性质：

• 协方差矩阵为对称矩阵
• 协方差矩阵的对角线为各分量的方差

具体解题

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2-6

题目

理论基础

1. 设$X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$，$B$为$s\times p$常数矩阵，$d$为$s$维常向量，令$Z=BX+d$，则$Z\sim N_s(B\mu +d,B\Sigma B^T)$
2. 两个随机向量相互独立 $⟺$ 他们的协方差（矩阵）为$0$矩阵
3. 协方差的性质
   

具体解题

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2-9

题目

理论基础

1. 正交矩阵的性质：该矩阵的转置 等于 该矩阵的逆矩阵
2. 设$X\sim N_p(\mu ,\Sigma )$，$B$为$s\times p$常数矩阵，$d$为$s$维常向量，令$Z=BX+d$，则$Z\sim N_s(B\mu +d,B\Sigma B^T)$
3. 转置的性质：
   
4. 两个随机向量相互独立 $⟺$ 他们的协方差（矩阵）为$0$矩阵
5. 协方差矩阵的性质
   

• 协方差矩阵为对称矩阵
• 协方差矩阵的对角线为各分量的方差

具体解题

第一小问略 算一下即可
第二小问：
证明一：

证明二：

证明三：

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2-15

题目

理论基础

1. 多元正态分布$\mu$,$\Sigma$的最大似然估计公式
   
   
2. 常用矩阵微分
   
3. 极大似然估计函数 取对数后 再分别对$\mu$和$\Sigma$求微分的结论
   

具体解题

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