实变函数与泛函分析基础

集合论

集合的运算

并集：1、任意两个集合

2、任意多个集合的并集或和集：

设  一族集合  ；由一切   的 元素组成的集合，其中  是固定指标集， 是  中变化的指标。

记为   ，可表示为  

    是 有限集， 记   , 

 http://集合中的上限集与下限集 - antisource的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/64140606

http://集合中的上极限与下极限 - 陌非的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/116829467

http://可数集、不可数集、基数 - 云端之下的文章 - 知乎 https://zhuanlan.zhihu.com/p/452960039 

有限个不可数集的交集是不可数集（错）

http://两个不可数集的交集是可数集还是不可数集啊？ - 改个名好麻烦的回答 - 知乎 https://www.zhihu.com/question/448380289/answer/1770477882 

若A表示平面上以有理点为中心、有理数为半径的所有圆，则A是可数集.

证：有理数全体是可列集，有理数的有序三数组也是可列集． A 中的元可看成三个有理数的有序数组（ x , y , r )（其中）( x , y ）表示圆的中心， r 表示圆的半径（ r >0)．所以 A 是可列集

无限多个闭集的并是闭集的反例

[1/n，1-1/n] 从n=3一直并到n=∞ 结果是（0，1）

可数个闭集的并集可能既不是闭集也不是开集，因此有F_sigma集与G_sigma集来描述这样的集合。 

对于有限集合来说，基数就是这集合中元素的个数。对于无穷的集合，要引进新的基数。自然数集合的基数用(阿列夫0)表示。集合的基数有时也称为集合的势或集合的蕴度。

性质

连续统与连续统基数在概念上是有区别的，连续统的基数是2式，但具有2式基数的集合不一定是实直线.具有连续统基数的集合很多，例如：

1.n维空间中所有点的集合。

2.所有复数的集合。

3.所有自然数的无穷序列的集合。

4.所有实数的无穷序列的集合。

5. R-A,R是实数集，A是R的任一可数子集。

6.所有无理数的集合。

7.所有自然数的无穷子集的集合。

可数集和有限集有什么联系和区别？

比如整数集，可以一个一个数数，但数不完，是可数集但不是有限集可数集，可以说是元素个数可以数的集合，从第一个开始一个一个有序往下数。有限集，是含有有限个元素的集合。实数集的子集比如（0,1）区间，不可数，也数不清里面有多少元素，所以不是可数集，也不是有限集。有限集一定是可数集。集合的元素个数有限就是多拿几张纸也就一个一个全写得出来了，可以一个一个数。可数集不一定是有限集。比如从1数到1亿，还是能继续数到1亿零1，可以无穷无尽。不可数集一定不是有限集。数都数不清了，肯定不是有限个不有限的集合可能是可数集，例子还是整数集

证明有理数集Q是可列集

不可测集的问题 举例说明两个不可测集的并、交、差既可以是不可测的,也可以是可测的 

设　A,B　分别是　[0,1],[1,2]　中的不可测集,
则　A1=[0,1]\A,B1=[1,2]\B,C=A∪[1,2]　都是不可测集.
显然
A∪B,A∩C,A\B　都是不可测的,
A∪A1,A∩B,C\A　都是可测的.

设E为[0,1]中有理点构成的集合,求E',E的闭包,E的内部,E的边界.

E' = [0, 1]

E 的闭包：[0, 1]

E 的内部：∅

E 的边界：边界 = 闭包 \ 内部 = [0, 1]

 设E是（0,1）上的全部有理点，试求E在R内的导集（聚点集）核（内点集）与闭导（导集和自身的并集）

聚点集合是 0,1和无理数内点是 空集闭导是[0,1]

N(自然数集)的所有有限子集的集合是不是countable？

R={A,A is subset of N and A is finit}.
Is R a countable or an uncountable?

简单的无理数，如2的开方,3的开方，或所有代数方程的根的全体，仍然是可列的.
必须是超越(无理)数的全体，才会是不可列集. 

可列集的有限子集是可列集
可列集的无限子集才会是不可列集
自然数,有理数，代数数都是可列的，不管位数多长.
不可列集必须包含像e，pi这样的超越数，它们不能表示为有穷位小数或循环小数，即使任意大的有穷位也不行,
e，pi这样的超越数所包含的位数是真正的无穷，这是"已完成了"的无穷，或"实无穷"! 不可想象 

 R={A,A is subset of N and A is finit}是countable

对finit与infinit的理解是：finit可以任意大，但是不管它怎样大，总是有限的，永远不会达到无穷大。

例如：A是N的一个有限子集，无论其中有多少个元素，按如下的方法总可映射到一个有理数，因为元素的个数是有限的。对于无限子集，它将被映射到一个无理数。

R is countable. (Because A is finit)

One possible solution is mapping
A={n1,n2,....,nk} n1 To rational number

1/(n1+1/(n2+1/(n3+.......)))
And no different sets will be mapped into same rational number.
Since the set for rational number is countable, so the set R is countable too.

考虑A的所有有限子集，但这里的有限可以是任意大，此时R和N的幂集区别就在于有限无限，构造出来的数如果是有限位则是有理数，否则就不是；

当A有限时，1/(n1+1/(n2+1/(n3+.......)))是有理数

所有有理数的连分数表示只有两种（有一种最后一个数是1），所有无理数的连分数表示只有一种。所以容易看出上面的函数是单射。

考虑两个不同的集合{n1,n2,...,ni,n(i+1)...,nk}和{n1,n2,...,ni,n'(i+1),...nl},n(i+1) n(i+1)+1/(n(i+2)+1/...) < n'(i+1)+1/(n'(i+2)+1/...)
从而构造的两个连分式是不同的。

 自然数集的幂集与实数集等势

即|P(N)|=|R|.

考虑映射f把0映到0, 其余的x映到1/x, 这样R与[0,1]等势.

[0,1]中的每个元素可以唯一对应到{0,1}^N(可数无限次笛卡尔积)一个元素上(展开成二进制无限小数, 小数部分每位对应一个分量, 1等于0.999...), 这样R与{0,1}^N等势.

集合笛卡尔积的基数是原集合基数相乘, 于是|R|=|{0,1}^N|=2^N. 由|P(X)|=2^X(随便证一下就出来了)又有|P(N)|=2^N, 两边相等.