洛谷P2261 整除分块模板

题意：

给出$n,k$，求出
$$\sum _{i=1}^{n}kmodi$$

Solution：

由于$kmodi=k-\lfloor \frac{k}{i}\rfloor \cdot i$，于是只需要求
$$nk-\sum _{i=1}^n\lfloor \frac{k}{i}\rfloor \cdot i$$
对于一段使$\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$相同的$i$，可以利用等差数列求和这一段

现在考虑对于一个$l$，如何找到最大的$r$满足
$$\lfloor \frac{k}{l}\rfloor =\lfloor \frac{k}{r}\rfloor$$
有这样的等式满足
$$\lfloor \frac{k}{l}\rfloor =\lfloor \frac{k}{r}\rfloor \le \frac{k}{r}$$
于是
$$r\le \frac{k}{\lfloor \frac{k}{r}\rfloor }=\frac{k}{\lfloor \frac{k}{l}\rfloor }\Rightarrow r_{max}=\lfloor \frac{k}{\lfloor \frac{k}{l}\rfloor }\rfloor$$

此时找出了最大的$[l,r]$使$\lfloor \frac{k}{l}\rfloor =\lfloor \frac{k}{r}\rfloor$，只需要对$r+1$作为新的左端点时重新计算即可，并且当$\lfloor \frac{k}{l}\rfloor =0$时，$r=+\infty$。无论何种情况，切莫忘记题目$\le n$的限制

时间复杂度

设$i\cdot j=k$

当$i\le \sqrt{n}$时，$j\ge \sqrt{n}$，此时$i$最多$\sqrt{n}$种取值，对应的$j$只可能有一个取值，于是此时最多有$\sqrt{n}$种$\lfloor \frac{k}{i}\rfloor$

同理对$i\ge \sqrt{n}$，此时相当于$i,j$轮换，取值种数仍然是$\sqrt{n}$种

于是总取值不超过$2\sqrt{n}$种，时间复杂度$O(\sqrt{n})$

// #include
#include
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#include
#include
#include
#include
#include
using namespace std;

using ll=long long;
const int N=1e5+5,inf=0x3fffffff;
const long long INF=0x3fffffffffffffff,mod=1e9+7;

ll n,k;

int main()
{
    cin>>n>>k;
    ll l=1,ans=1ll*n*k;
    while(l<=n)
    {
        ll val=k/l,r=val?min(n,k/val):n;
        ans-=1ll*(l+r)*(r-l+1)/2*val;
        l=r+1;
    }
    cout<<ans;
    return 0;
}
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