时间序列：时间序列模型---随机游走过程（The Random Walk Process)

本文是Quantitative Methods and Analysis: Pairs Trading此书的读书笔记。

随机游走过程是一种特殊的ARMA序列。从分子运动到股价波动等现象都被建模为随机游走。

随机游走过程是AR(1)序列，而且,时间序列在时刻的值为：

 随机游走过程本质上是到当前时间为止所有白噪声实现(white noise realization)的简单求和。或者说，前一刻的时间序列值加上当前的白噪声实现。这个白噪声实现称为innovation。下图是一个随机游走序列：

 让我们看一看随机游走的特点。首先看看随机游走序列的方差。因为白噪声实现都是不相关的，根据求多项和的方差公式（见附录的公式），有以下式子：

又因为这些随机的白噪声实现拥有相同的方差，所以，

 可见随机游走序列的方差是随着时间的增加而增加的，这种序列称为非平稳（nonstationary)的时间序列。而平稳（stationary)的时间序列的的均值和方差不会随着时间变化而变化。

随机游走过程序列的可预测性：对于时刻的预测值是来自一个均值为此刻的时间序列值即，方差为白噪声实现的方差的正态分布。然而，由于方差随着时间线性增加，我们的预测误差也是随着时间步长增加。

随机游走过程序列对于下一个时刻均值的预测值就是此刻的时间序列值（准确来说应该是下一时刻的预测值是来自（抽样自）均值为此刻时间序列值的正态分布）。这种下一时刻的期望就是此刻的时序值的序列称为martingale，随机游走过程可以称为martingale。

随机游走过程呈现强烈的趋势性。其它时间序列经常在均值附近波动，而随机游走过程没有呈现均值回归的现象。随机游走过程通常保持正向（或者负向）的趋势。

附录公式：