Python卡方分布

卡方分布

若$k$个互相独立的随机变量${\xi }_1,{\xi }_2,\cdots ,{\xi }_k$，均服从标准正态分布，则这k个随机变量的平方和构成一个新变量，这个新变量服从${\chi }^2$分布。其概率密度函数为

$$\rho (x)=\frac{(1/2{)}^{k/2}}{\Gamma (k/2)}{x}^{k/2-1}{e}^{-x/2}$$

所以对${\chi }^2$分布而言，其自由度$k$是一个不可避免的参数，一般称之为自由度，在chisquare中就是其输入参数df。

import numpy as np
import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()
for i,df in zip([1,2,3,4],[1,2,5,11]):
    ax = fig.add_subplot(2,2,i)
    ys = np.random.chisquare(df,size=1000)
    ax.hist(ys, bins=100)
    ax.set_title(f"df={df}")

plt.show()
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得到在不同组随机变量的卡方分布为

k参数

卡方分布受$k$值调节，随着$k$值不断增大，卡方分布越来越接近正态分布。而且卡方分布常用的统计特征也与$k$密切相关

可以生成一组随机数进行特征值的检验

msg = "k".ljust(5)
msg += "mean".ljust(10)
msg += "std".ljust(10)
msg += "median".ljust(10)
for k in range(1, 10):
    ys = np.random.chisquare(k, size=5000)
    msg += "\n" + f"{k}".ljust(5)
    msg += f"{np.mean(ys):.6}".ljust(10)
    msg += f"{np.std(ys):.6}".ljust(10)
    msg += f"{np.median(ys):.6}".ljust(10)

print(msg)
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效果为

可以明显地看到期望、方差以及中位数和k值的关联性。

如果考虑方差对随机变量的影响，则可得到非中心的${\chi }^2$分布，在numpy.random中有函数noncentral_chisquare可以生成非中心的卡方分布。和卡方分布相比，非中心卡方分布多了一个非负的参数nonc，测试一下

import matplotlib.pyplot as plt
values = plt.hist(np.random.noncentral_chisquare(3, 20, 100000),
                  bins=200, density=True)
plt.show()
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得到其分布图为