本节开始,介绍贝叶斯线性回归(Bayesian Linear Regression)。
给定数据集合
D
a
t
a
=
{
(
x
(
i
)
,
y
(
i
)
)
}
i
=
1
N
\mathcal Data = \left\{\left(x^{(i)},y^{(i)}\right)\right\}_{i=1}^N
Data={(x(i),y(i))}i=1N,其中样本
x
(
i
)
(
1
=
1
,
2
,
⋯
,
N
)
x^{(i)}(1 = 1,2,\cdots,N)
x(i)(1=1,2,⋯,N)是
p
p
p维随机变量,对应的标签信息
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)是一维随机变量:
x
(
i
)
∈
R
p
,
y
(
i
)
∈
R
i
=
1
,
2
,
⋯
,
N
X
=
(
x
(
1
)
,
x
(
2
)
,
⋯
,
x
(
N
)
)
T
=
(
x
1
(
1
)
,
x
2
(
1
)
,
⋯
,
x
p
(
1
)
x
1
(
2
)
,
x
2
(
2
)
,
⋯
,
x
p
(
2
)
⋮
x
1
(
N
)
,
x
2
(
N
)
,
⋯
,
x
p
(
N
)
)
N
×
p
Y
=
(
y
(
1
)
y
(
2
)
⋮
y
N
×
1
(
N
)
)
x(i)∈Rp,y(i)∈Ri=1,2,⋯,NX=(x(1),x(2),⋯,x(N))T=(x(1)1,x(1)2,⋯,x(1)px(2)1,x(2)2,⋯,x(2)p⋮x(N)1,x(N)2,⋯,x(N)p)N×pY=(y(1)y(2)⋮y(N)N×1)
x(i)X∈Rp,y(i)∈Ri=1,2,⋯,N=(x(1),x(2),⋯,x(N))T=
x1(1),x2(1),⋯,xp(1)x1(2),x2(2),⋯,xp(2)⋮x1(N),x2(N),⋯,xp(N)
N×pY=
y(1)y(2)⋮yN×1(N)
给定数据集合
D
a
t
a
Data
Data以及相应拟合直线表示如下:
其中直线的表达式为:
这里‘偏置信息’
b
b
b忽略掉,
x
i
(
i
=
1
,
2
,
⋯
,
p
)
x_i(i=1,2,\cdots,p)
xi(i=1,2,⋯,p)表示样本的第
i
i
i维特征信息。
f
(
X
)
=
W
T
X
=
X
T
W
=
∑
i
=
1
p
w
i
⋅
x
i
f(\mathcal X) = \mathcal W^T \mathcal X = \mathcal X^T \mathcal W = \sum_{i=1}^p w_i \cdot x_i
f(X)=WTX=XTW=i=1∑pwi⋅xi
从概率密度函数角度观察,标签分布可看作是
f
(
x
)
f(x)
f(x)的基础加上均值为0的高斯分布噪声:
X
\mathcal X
X是包含
p
p
p维特征的随机变量集合;
Y
\mathcal Y
Y是一个一维随机变量;
ϵ
\epsilon
ϵ表示一维高斯分布(它和
Y
\mathcal Y
Y的维数相同)。
Y
=
f
(
X
)
+
ϵ
X
∈
R
p
,
Y
∈
R
,
ϵ
∼
N
(
0
,
σ
2
)
\mathcal Y = f(\mathcal X) + \epsilon \quad \mathcal X \in \mathbb R^p,\mathcal Y \in \mathbb R,\epsilon \sim \mathcal N(0,\sigma^2)
Y=f(X)+ϵX∈Rp,Y∈R,ϵ∼N(0,σ2)
关于线性回归问题求解模型参数
W
\mathcal W
W时,使用的是最小二乘估计(Least Square Estimation,LSE):
L
(
W
)
=
∑
i
=
1
N
∣
∣
W
T
x
(
i
)
−
y
(
i
)
∣
∣
2
\mathcal L(\mathcal W) = \sum_{i=1}^N ||\mathcal W^Tx^{(i)} - y^{(i)}||^2
L(W)=i=1∑N∣∣WTx(i)−y(i)∣∣2
并且通过最小二乘估计,求解模型参数
W
\mathcal W
W的矩阵形式表达:
矩阵表达的弊端
:
是一个
p
×
p
p \times p
p×p的对称矩阵,它至少是半正定矩阵,但不一定是正定矩阵。从而导致
(
X
T
X
)
−
1
(\mathcal X^T\mathcal X)^{-1}
(XTX)−1可能是不可求的。
由于
X
\mathcal X
X是样本集合,如果
X
\mathcal X
X的样本量较大,会导致
X
T
X
\mathcal X^T\mathcal X
XTX的计算代价极高。
从概率密度函数角度观察,最小二乘估计本质是极大似然估计(Maximum Likelihood Estimate,MLE):
给定样本
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)和对应标签
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)之间的关联关系,可以得到
P
(
y
(
i
)
∣
x
(
i
)
)
\mathcal P(y^{(i)} \mid x^{(i)})
P(y(i)∣x(i))的概率分布:
这里先将
μ
\mu
μ写在上面。
y
(
i
)
=
W
T
x
(
i
)
+
ϵ
ϵ
∼
N
(
μ
,
σ
2
)
→
P
(
y
(
i
)
∣
x
(
i
)
;
W
)
∼
N
(
W
T
x
(
i
)
+
μ
,
σ
2
)
y(i)=WTx(i)+ϵϵ∼N(μ,σ2)→P(y(i)∣x(i);W)∼N(WTx(i)+μ,σ2)
y(i)=WTx(i)+ϵϵ∼N(μ,σ2)→P(y(i)∣x(i);W)∼N(WTx(i)+μ,σ2)
对似然函数
L
(
W
)
\mathcal L(\mathcal W)
L(W)进行构建:
将高斯分布的概率密度函数带入~
L
(
W
)
=
log
∏
i
=
1
N
P
(
y
(
i
)
∣
x
(
i
)
;
W
)
=
∑
i
=
1
N
log
[
1
σ
2
π
exp
(
−
[
y
(
i
)
−
(
W
T
x
(
i
)
+
μ
)
]
2
2
σ
2
)
]
L(W)=logN∏i=1P(y(i)∣x(i);W)=N∑i=1log[1σ√2πexp(−[y(i)−(WTx(i)+μ)]22σ2)]
L(W)=logi=1∏NP(y(i)∣x(i);W)=i=1∑Nlog[σ2π1exp(−2σ2[y(i)−(WTx(i)+μ)]2)]
使用极大似然估计对最优模型参数
W
^
\hat {\mathcal W}
W^进行计算:
其中
∑
i
=
1
N
log
1
σ
2
π
,
1
2
σ
2
\sum_{i=1}^N \log \frac{1}{\sigma \sqrt{2\pi}},\frac{1}{2\sigma^2}
∑i=1Nlogσ2π1,2σ21均是与
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)无关的量,视作常数。
W
^
=
arg
max
W
L
(
W
)
=
arg
max
W
{
∑
i
=
1
N
log
[
1
σ
2
π
exp
(
−
[
y
(
i
)
−
(
W
T
x
(
i
)
+
μ
)
]
2
2
σ
2
)
]
}
=
arg
max
W
{
∑
i
=
1
N
log
1
σ
2
π
−
∑
i
=
1
N
[
y
(
i
)
−
(
W
T
x
(
i
)
+
μ
)
]
2
2
σ
2
}
∝
arg
min
W
∑
i
=
1
N
[
y
(
i
)
−
(
W
T
x
(
i
)
+
μ
)
]
2
μ
=
0
→
arg
min
W
∑
i
=
1
N
[
y
(
i
)
−
W
T
x
(
i
)
]
2
ˆW=argmax
W^=WargmaxL(W)=Wargmax{i=1∑Nlog[σ2π1exp(−2σ2[y(i)−(WTx(i)+μ)]2)]}=Wargmax{i=1∑Nlogσ2π1−i=1∑N2σ2[y(i)−(WTx(i)+μ)]2}∝Wargmini=1∑N[y(i)−(WTx(i)+μ)]2μ=0→Wargmini=1∑N[y(i)−WTx(i)]2
这里令
μ
=
0
\mu=0
μ=0关于极大似然估计关于
W
^
\hat{\mathcal W}
W^的求解公式与最小二乘估计相同。
针对最小二乘估计的过拟合 问题,引入正则化(Regularized)。常见的正则化有两种方式:
从概率密度函数角度考虑基于正则化的最小二乘估计,可将其视作关于
W
\mathcal W
W的最大后验概率估计(Maximum a Posteriori Probability,MAP):
W
^
M
A
P
=
arg
max
W
P
(
Y
∣
W
)
⋅
P
(
W
)
P
(
Y
)
∝
arg
max
W
P
(
Y
∣
W
)
⋅
P
(
W
)
W^MAP=WargmaxP(Y)P(Y∣W)⋅P(W)∝WargmaxP(Y∣W)⋅P(W)
由于样本间独立同分布,因而有:
增加一个
log
\log
log函数,不影响最值的取值结果。
W
^
M
A
P
∝
arg
max
W
[
log
∏
i
=
1
N
P
(
y
(
i
)
∣
W
)
⋅
P
(
W
)
]
\hat {\mathcal W}_{MAP} \propto \mathop{\arg\max}\limits_{\mathcal W} \left[\log \prod_{i=1}^N \mathcal P(y^{(i)} \mid \mathcal W) \cdot \mathcal P(\mathcal W)\right]
W^MAP∝Wargmax[logi=1∏NP(y(i)∣W)⋅P(W)]
令先验分布
P
(
W
)
∼
N
(
μ
0
,
σ
0
2
)
\mathcal P(\mathcal W) \sim \mathcal N(\mu_0 ,\sigma_0^2)
P(W)∼N(μ0,σ02),将
P
(
Y
∣
W
)
∼
N
(
W
T
X
,
σ
2
)
\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal W) \sim \mathcal N(\mathcal W^T \mathcal X,\sigma^2)
P(Y∣W)∼N(WTX,σ2)一同代入上式,有:
这里既包含对
W
\mathcal W
W分布的假设。也包含关于高斯噪声
Y
∣
W
\mathcal Y \mid \mathcal W
Y∣W的假设。该假设完全写法是
Y
∣
X
;
W
\mathcal Y \mid \mathcal X;\mathcal W
Y∣X;W只不过这里
X
\mathcal X
X是已知量,省略掉了。
W
^
M
A
P
=
arg
min
W
∑
i
=
1
N
[
(
y
(
i
)
−
W
T
x
(
i
)
)
2
+
σ
2
σ
0
2
(
W
−
μ
0
)
2
]
\hat {\mathcal W}_{MAP} = \mathop{\arg\min}\limits_{\mathcal W} \sum_{i=1}^N \left[\left(y^{(i)} - \mathcal W^T x^{(i)}\right)^2 + \frac{\sigma^2}{\sigma_0^2}(\mathcal W - \mu_0)^2\right]
W^MAP=Wargmini=1∑N[(y(i)−WTx(i))2+σ02σ2(W−μ0)2]
令
λ
=
σ
2
σ
0
2
,
μ
0
=
0
\lambda = \frac{\sigma^2}{\sigma_0^2},\mu_0 = 0
λ=σ02σ2,μ0=0时,上式将转化为:
W
^
M
A
P
=
arg
min
W
∑
i
=
1
N
[
(
y
(
i
)
−
W
T
x
(
i
)
)
2
+
λ
∣
∣
W
∣
∣
2
2
]
\hat {\mathcal W}_{MAP} = \mathop{\arg\min}\limits_{\mathcal W} \sum_{i=1}^N \left[\left(y^{(i)} - \mathcal W^T x^{(i)}\right)^2 + \lambda ||\mathcal W||_2^2\right]
W^MAP=Wargmini=1∑N[(y(i)−WTx(i))2+λ∣∣W∣∣22]
上述是关于岭回归
W
\mathcal W
W分布的假设,如果是Lasso回归,将
W
\mathcal W
W分布假设为拉普拉斯分布(Laplace Distribution)。
无论是最小二乘估计还是包含了正则化的最小二乘估计,其本质均是频率派的求解方式,将模型参数
W
\mathcal W
W视作未知常量,通过极大似然估计、最大后验概率估计等方式对
W
\mathcal W
W进行优化,从而使目标函数达到最值。
本质上是‘优化问题’。
并且这种估计方式是点估计(Point Estimation),由于概率模型能够源源不断的生成样本,理论上无法完美地、精确描述概率模型的分布信息,只能通过有限的样本集合来估计模型参数。
也就是说,使用‘统计得到的样本集合’估计总体参数。
假设某概率模型服从高斯分布:
N
(
μ
,
σ
2
)
\mathcal N(\mu,\sigma^2)
N(μ,σ2),这里的
μ
,
σ
2
\mu,\sigma^2
μ,σ2是描述概率分布的参数,是固定的。但是该概率模型可以生成无穷无尽的样本,假设某样本集合
X
=
{
x
(
1
)
,
x
(
2
)
,
⋯
,
x
(
N
)
}
\mathcal X =\left\{x^{(1)},x^{(2)},\cdots ,x^{(N)}\right\}
X={x(1),x(2),⋯,x(N)}是生成出的一部分样本,我们通过统计的方式得到该样本的均值、方差
μ
X
,
σ
X
2
\mu_{\mathcal X},\sigma_{\mathcal X}^2
μX,σX2去估计真正的参数
μ
,
σ
2
\mu,\sigma^2
μ,σ2。
区别于频率派的点估计方式,贝叶斯派使用的是贝叶斯估计(Bayesian Estimation)。此时的参数 W \mathcal W W不再是一个未知的常量,而是一个随机变量。
对于 W \mathcal W W的估计过程中,需要通过给定数据估计出 W \mathcal W W的后验概率分布 P ( W ∣ D a t a ) \mathcal P(\mathcal W \mid Data) P(W∣Data)。
在变分推断——基本介绍中介绍过贝叶斯学派角度认识问题。其核心是:不同于频率派将模型参数
W
\mathcal W
W看作未知的常量,而是将
W
\mathcal W
W看作随机变量,从而求解
W
\mathcal W
W的后验概率分布
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\mathcal W \mid Data)
P(W∣Data),基于该分布,对新样本进行预测:
令新样本为
x
^
\hat x
x^,预测任务可表示为
P
(
x
^
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\hat x \mid Data)
P(x^∣Data).
P
(
x
^
∣
D
a
t
a
)
=
∫
W
∣
D
a
t
a
P
(
x
^
,
W
∣
D
a
t
a
)
d
W
=
∫
W
∣
D
a
t
a
P
(
W
∣
X
)
⋅
P
(
x
^
∣
W
)
d
W
=
E
W
∣
D
a
t
a
[
P
(
x
^
∣
W
)
]
P(x^∣Data)=∫W∣DataP(x^,W∣Data)dW=∫W∣DataP(W∣X)⋅P(x^∣W)dW=EW∣Data[P(x^∣W)]
针对上述贝叶斯方法的描述,在线性回归中的任务包含以下两个:
后验概率
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\mathcal W \mid Data)
P(W∣Data)表示如下:
数据集合
D
a
t
a
Data
Data包含样本集合
X
\mathcal X
X和对应标签集合
Y
\mathcal Y
Y.
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
=
P
(
W
∣
X
,
Y
)
=
P
(
W
,
Y
∣
X
)
P
(
Y
∣
X
)
=
P
(
Y
∣
W
,
X
)
⋅
P
(
W
)
∫
W
P
(
Y
∣
W
,
X
)
⋅
P
(
W
)
d
W
P(W∣Data)=P(W∣X,Y)=P(Y∣X)P(W,Y∣X)=∫WP(Y∣W,X)⋅P(W)dWP(Y∣W,X)⋅P(W)
其中
P
(
Y
∣
W
,
X
)
\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal W,\mathcal X)
P(Y∣W,X)是似然(Likelihood),
P
(
W
)
\mathcal P(\mathcal W)
P(W)是先验分布(Piror Distribution)。
P
(
W
)
\mathcal P(\mathcal W)
P(W)实际上是
P
(
W
∣
X
)
\mathcal P(\mathcal W \mid \mathcal X)
P(W∣X),由于
X
\mathcal X
X不对
W
\mathcal W
W产生影响,这里省略。这个先验分布是推断之前给定的某一种分布。
由于样本之间独立同分布,因而似然
P
(
Y
∣
W
,
X
)
\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal W,\mathcal X)
P(Y∣W,X)可表示为如下形式:
根据上面介绍的线性回归模型,样本
x
(
i
)
x^{(i)}
x(i)和对应标签
y
(
i
)
y^{(i)}
y(i)之间是‘包含均值为0高斯噪声的线性关系’
:
P
(
y
(
i
)
∣
W
,
x
(
i
)
)
∼
N
(
W
T
x
(
i
)
,
σ
2
)
P
(
Y
∣
W
,
X
)
=
∏
i
=
1
N
P
(
y
(
i
)
∣
W
,
x
(
i
)
)
=
∏
i
=
1
N
N
(
W
T
x
(
i
)
,
σ
2
)
\mathcal P(y^{(i)} \mid \mathcal W,x^{(i)}) \sim \mathcal N(\mathcal W^Tx^{(i)},\sigma^2)\\
P(y(i)∣W,x(i))∼N(WTx(i),σ2)P(Y∣W,X)=i=1∏NP(y(i)∣W,x(i))=i=1∏NN(WTx(i),σ2)
关于先验分布
P
(
W
)
\mathcal P(\mathcal W)
P(W),我们同样假设它是一个 均值为0的高斯分布:
其中
Σ
p
r
i
o
r
\Sigma_{prior}
Σprior表示先验高斯分布的‘协方差矩阵’,由于
W
\mathcal W
W和
X
\mathcal X
X维度相同,因而
[
Σ
p
r
i
o
r
]
p
×
p
[\Sigma_{prior}]_{p \times p}
[Σprior]p×p.
P
(
W
)
∼
N
(
0
,
Σ
p
i
r
o
r
)
\mathcal P(\mathcal W) \sim \mathcal N(0,\Sigma_{piror})
P(W)∼N(0,Σpiror)
至此,关于
W
\mathcal W
W的后验概率分布
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\mathcal W \mid Data)
P(W∣Data)可表示为:
贝叶斯定理的分母部分称作’证据‘(Evidence),它可看作关于数据集合
D
a
t
a
Data
Data的一个常量(因为数据集合是已知的),和参数
W
\mathcal W
W无关。
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
=
P
(
Y
∣
W
,
X
)
⋅
P
(
W
)
∫
W
P
(
Y
∣
W
,
X
)
⋅
P
(
W
)
d
W
∝
P
(
Y
∣
W
,
X
)
⋅
P
(
W
)
P(W∣Data)=∫WP(Y∣W,X)⋅P(W)dWP(Y∣W,X)⋅P(W)∝P(Y∣W,X)⋅P(W)
观察,由于似然
P
(
Y
∣
W
,
X
)
\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal W,\mathcal X)
P(Y∣W,X)服从高斯分布,并且先验分布同样假设为高斯分布,因而后验分布
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\mathcal W \mid Data)
P(W∣Data)同样服从高斯分布。
这里用到了
指数族分布的共轭性质,具体描述是:似然
P
(
Y
∣
W
,
X
)
\mathcal P(\mathcal Y \mid \mathcal W,\mathcal X)
P(Y∣W,X)存在一个共轭的先验分布
P
(
W
)
\mathcal P(\mathcal W)
P(W),对应效果是:后验分布
P
(
W
∣
D
a
t
a
)
\mathcal P(\mathcal W \mid Data)
P(W∣Data)与先验分布形成相同的分布形式。
并且高斯分布是一个包含’自共轭性质‘的指数族分布。即高斯分布是高斯分布自身的’共轭分布‘。
定义后验的高斯分布为
N
(
μ
W
,
Σ
W
)
\mathcal N(\mu_{\mathcal W},\Sigma_{\mathcal W})
N(μW,ΣW),具体表示如下:
N
(
μ
W
,
Σ
W
)
∝
[
∏
i
=
1
N
N
(
y
(
i
)
∣
W
T
x
(
i
)
,
σ
2
)
]
⋅
N
(
0
,
Σ
p
i
r
o
r
)
\mathcal N(\mu_{\mathcal W},\Sigma_{\mathcal W}) \propto \left[\prod_{i=1}^N \mathcal N(y^{(i)} \mid \mathcal W^Tx^{(i)},\sigma^2)\right] \cdot \mathcal N(0,\Sigma_{piror})
N(μW,ΣW)∝[i=1∏NN(y(i)∣WTx(i),σ2)]⋅N(0,Σpiror)
下一节将介绍 μ W , Σ W \mu_{\mathcal W},\Sigma_{\mathcal W} μW,ΣW的求解过程。