时间复杂度和空间复杂度【一学就会】

目录

🥇1.算法效率

🔎2.时间复杂度

📗2.1 大O渐进表示法

📘2.2 时间复杂度的练习（没有说明即最坏情况）

🔑3.空间复杂度

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🌈如何评价一个代码呢？它的效率高不高，这个时候就会引出时间效率和空间效率。

🥇1.算法效率

算法效率分析分为两种：第一种是时间效率，第二种是空间效率。时间效率被称为时间复杂度，而空间效率被称作空间复杂度。 时间复杂度主要衡量的是一个算法的运行速度，而空间复杂度主要衡量一个算法所需要的额外空间，在计算机发展的早期，计算机的存储容量很小。所以对空间复杂度很是在乎。但是经过计算机行业的迅速发展，计算机的存储容量已经达到了很高的程度。所以我们如今已经不需要再特别关注一个算法的空间复杂度。

🔎2.时间复杂度

时间复杂度的定义：在计算机科学中，算法的时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。 一个算法执行所耗费的时间理论上来说是算不出来的，因为它不仅仅与你写的算法有关，还与运行这个算法的机器也有关系，如果你的机器很好，那么你所耗费的时间就可能会更少，所以，一个算法耗费的时间是需要放在机器上实际测验才能知道的，但是我们总不能每个算法都拿来上机测试，来记录该算法的时间，所以我们就有了时间复杂度这样的分析方式。

📗2.1 大O渐进表示法

👉大O符号（Big O notation）：是用于描述函数渐进行为的数学符号。推导大O阶方法：

1️⃣用常数1取代运行时间中的所有加法常数。
2️⃣在修改后的运行次数函数中，只保留最高阶项。
3️⃣如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶。

另外有些算法的时间复杂度存在最好、平均和最坏情况：

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界) 平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界) 例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x 最好情况：1次找到 最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到 在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

public class Test {
    // 请计算一下func1基本操作执行了多少次？
    void func1(int N){
        int count = 0;
        for (int i = 0; i < N ; i++) {
            for (int j = 0; j < N ; j++) {
                count++;
            }
        }
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }
}

🔥分析：
1️⃣两层循环嵌套外循环执行n次，内循环执行n次，整体计算就是N*N 的执行次数
2️⃣2 * N的执行次数
3️⃣常数项10

4️⃣那么这个函数执行基本操作的次数为F(N)=N²+2*N+10
根据前面的大O渐进表示法规则，所以最后只保留那项对执行次数影响最大的那一项，时间复杂度就是O(N ^ 2)

📘2.2 时间复杂度的练习（没有说明即最坏情况）

1️⃣代码一：

    // 计算func2的时间复杂度？
    void func2(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 2 * N ; k++) {
            count++;
        }
        int M = 10;
        while ((M--) > 0) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

🙉精确的算法执行次数是2 * n + 10
采用大O渐进表示法规则后时间复杂度是O(N)
如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数，那保留的就会是O(N)

2️⃣代码二：

    // 计算func3的时间复杂度？
    void func3(int N, int M) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < M; k++) {
            count++;
        }
        for (int k = 0; k < N ; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

🙉时间复杂度：O(M + N)

第一次循环是M，第二次循环是N
如果并没有说明M和N的大小关系，那么时间复杂度就是O(M + N)

3️⃣代码三：

    // 计算func4的时间复杂度？
    void func4(int N) {
        int count = 0;
        for (int k = 0; k < 100; k++) {
            count++;
        }
        System.out.println(count);
    }

🙉时间复杂度：O(1)
循环执行的次数是常数次，常数取1

4️⃣代码四：

    // 计算bubbleSort的时间复杂度？
    void bubbleSort(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

🙉假设最外层执行N次，那么第二次循环就执行N - 1次，一共执行【（n - 1) + （n - 1)】*N / 2
采用大O渐进表示法规则后，时间复杂度：O(N ^ 2)

5️⃣代码五：

    // 计算binarySearch的时间复杂度？
    int binarySearch(int[] array, int value) {
        int begin = 0;
        int end = array.length - 1;
        while (begin <= end) {
            int mid = begin + ((end-begin) / 2);
            if (array[mid] < value)
                begin = mid + 1;
            else if (array[mid] > value)
                end = mid - 1;
            else
                return mid;
        }
        return -1;
    }

🙉此题设计二分查找的思想：

基本操作执行最好1次，最坏 （log2）n次，时间复杂度为 O[(log2)n]

在算法分析中表示是底数 为 2 ，对数为 N ，有些地方会写成 lgN。（建议通过折纸查找的方式讲解logN是怎么计算出来的）(因为二分查

找每次排除掉一半的不适合值,一次二分剩下：n/2

6️⃣代码六：

    // 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
    }

🙉首先这是一个递归函数：递归的次数 * 每次递归后代码的执行次数（时间复杂度）

此时执行的代码为三目运算符，三目运算符的时间复杂度为1，只执行一次，递归了N次，时间复杂度为O(N)。

7️⃣代码七：

    // 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
    int fibonacci(int N) {
        return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
    }

🙉此题可以想象一下二叉树：

 递归的次数：1+2+4+.....+2^(n-1)---------->等比数列求和------------》2^n - 1--------->2^n;

执行的次数：1

时间复杂度：O(2^n)

🔑3.空间复杂度

✨空间复杂度是对一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小量度 。空间复杂度不是程序占用了多少bytes的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度类似，也使用大O渐进表示法。

1️⃣代码一：

    // 计算bubbleSort的空间复杂度？
    void bubbleSort2(int[] array) {
        for (int end = array.length; end > 0; end--) {
            boolean sorted = true;
            for (int i = 1; i < end; i++) {
                if (array[i - 1] > array[i]) {
                    Swap(array, i - 1, i);
                    sorted = false;
                }
            }
            if (sorted == true) {
                break;
            }
        }
    }

🙉只有一个变量：sorted

空间复杂度：O(1)

2️⃣代码二：

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
    long[] fibArray = new long[n + 1];
    fibArray[0] = 0;
    fibArray[1] = 1;
    for (int i = 2; i <= n ; i++) {
        fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
    }
    return fibArray;
}

🙉空间复杂度O(N)，malloc了N+1个long long大小的空间

3️⃣代码三：

    // 计算阶乘递归Factorial的空间复杂度？
    long factorial(int N) {
        return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
    }

🙉实例3递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)