量子计算（八）：观测量和计算基下的测量

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观测量和计算基下的测量

一、观测量

二、计算基下的测量

三、投影测量

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观测量和计算基下的测量

一、观测量

量子比特（qubit）不同于经典的比特（bit），一个量子比特|ψ" role="presentation" style="position: relative;">ψ$\psi$>可以同时处于|0>和|1>两个状态，可用线性代数中的线性组合（linear combination）来表示为

在量子力学中常称量子比特|ψ" role="presentation" style="position: relative;">ψ$\psi$>处于|0>和|1>的叠加态（superpositions），其中α" role="presentation" style="position: relative;">α$\alpha$、β" role="presentation" style="position: relative;">β$\beta$都是复数（complex number），两维复向量空间的一组标准正交基（orthonormal basis）|0>和|1>组成一组计算基（computational basis）。

量子比特的信息不能直接获取，而是通过测量来获取量子比特的可观测的信息。可观测量在量子理论中由自伴算子（self-adjoint operators）来表征，自伴的有时也称Hermitian。量子理论中的可观测量与经典力学中的动力学量，如位置、动量和角动量等对应，而系统的其他特征，如质量或电荷，并不在可观测量的类别之中，它是作为参数被引入到系统的哈密顿量（Hamiltonian）。

在量子力学中测量（measure）会导坍塌，即是说测量会影响到原来的量子状态，因此量子状态的全部信息不可能通过一次测量得到。当对量子比特进行测量时，仅能得到该量子比特概率|α|2" role="presentation" style="position: relative;">|α|2${\left|\alpha \right|}^2$处在|0>态，或概率|β|2" role="presentation" style="position: relative;">|β|2${\left|\beta \right|}^2$处在|1>态。由于所有情况的概率和为1，则有|α|2+|β|2=1" role="presentation" style="position: relative;">|α|2+|β|2=1${\left|\alpha \right|}^2+{\left|\beta \right|}^2=1$。

当对量子进行测量时，会发生什么变化呢？

假设：量子测量是由测量算子(measurement operators）的集合{Mi}" role="presentation" style="position: relative;">{Mi}$\left\{M_i\right\}$来描述，这些算子可以作用在待测量系统的状态空间（state space）上。指标(index)i" role="presentation" style="position: relative;">(index)i$(index{)}^i$表示在实验上可能发生的结果。如果测量前的量子系统处在最新状态|ψ" role="presentation" style="position: relative;">ψ$\psi$>，那么结果​​​​​​​发生的概率为

 并且测量后的系统状态变为

由于所有可能情况的概率和为1，即

 因此，测量算子需满足

 

该方程被称为完备性方程(completeness equation）。

二、计算基下的测量

在计算基下单量子比特的测量，单量子比特在计算基下有两个测量算子分别是。注意到这两个测量算子都是自伴的，即

 

且

因此

该测量算子满足完备性方程。

设系统被测量时的状态是，则测量结果为0的概率为

对应测量后的状态为

测量结果为1的概率为

测量后的状态为

 

量子测量有很多种方式，比如投影测量（projective measurements）、POVM 测量(Positive Operator-Valued Measure）。

三、投影测量

为什么要介绍投影测量呢？因为当测量算子具有酉变换性质时，投影测量和一般测量等价。

投影测量由一个可观测量（observable）Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$来描述，可观测量Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$是一个待观测系统的状态空间上的自伴算子。可观测量Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$可以写成谱分解的形式

这里的Pi" role="presentation" style="position: relative;">Pi$P_i$为在Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$的特征值λi" role="presentation" style="position: relative;">λi${\lambda }_i$对应特征空间上的投影。测量的可能结果对应于可观测量Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$的特征值λi" role="presentation" style="position: relative;">λi${\lambda }_i$。在对状态|ψ" role="presentation" style="position: relative;">ψ$\psi$>测量之后，得到结果的概率为

若测量后，结果发生，则量子系统最新的状态为 

投影测量有一个重要的特征就是很容易计算投影测量的平均值E(Λ)" role="presentation" style="position: relative;">E(Λ)$E(\mathrm{\Lambda })$。

这个公式它能够简化很多计算。观测量Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$的平均值通常也记作。因此，观测量Λ" role="presentation" style="position: relative;">Λ$\mathrm{\Lambda }$的标准差（standard deviation）Δ(Λ)" role="presentation" style="position: relative;">Δ(Λ)$\mathrm{\Delta }(\mathrm{\Lambda })$满足

标准差是一个刻画典型分散程度的度量。

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