线性变换及其基本性质

定义 1　设有两个非空集合 $A$ 和 $B$，如果对于 $A$ 中任一元素 $\alpha$，按照一定的规则，总有 $B$ 中一个确定的元素 $\beta$ 和它对应，那么，这个对应规则称为 从集合 $A$ 到集合 $B$ 的映射。我们常用字母表示一个映射，譬如把上述映射记作 $T$，并记
$$\beta =T(\alpha )或\beta =T\alpha (\alpha \in A)$$
设 ${\alpha }_1\in A$，$T({\alpha }_1)={\beta }_1$，就说映射 $T$ 把元素 ${\alpha }_1$ 变成 ${\beta }_1$，${\beta }_1$ 称为 ${\alpha }_1$ 在映射 $T$ 下的像，${\alpha }_1$ 称为 ${\beta }_1$ 在映射 $T$ 下的原像。$A$ 称为映射 $T$ 的定义域，像的全体所构成的集合称为 像集，记作 $T(A)$，即
T ( A ) = { β = T ( α ) ∣ α ∈ A } T(A) = \{ \beta=T(\alpha) | \alpha \in A \} T(A)={β=T(α)∣α∈A}
显然 $T(A)\subset B$。

定义 2　设 $V_n$，$U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，如果映射 $T$ 满足：

（i）任给 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2\in V_n$（从而 ${\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2\in V$），有
$$T({\mathbf{\alpha }}_1+{\mathbf{\alpha }}_2)=T({\mathbf{\alpha }}_1)+T({\mathbf{\alpha }}_2)$$
（ii）任给 $\mathbf{\alpha }\in V_n$，$\lambda \in \mathbb{R}$（从而 $\lambda \mathbf{\alpha }\in V_n$），有
$$T(\lambda \mathbf{\alpha })=\lambda T(\mathbf{\alpha })$$
那么，$T$ 就称为从 $V_n$ 到 $U_m$ 的 线性映射，或称为 线性变换。

例如，关系式
( y 1 y 2 ⋮ y m ) = ( a 11 a 12 ⋯ a 1 n a 21 a 22 ⋯ a 2 n ⋮ ⋮ ⋮ a m 1 a m 2 ⋯ a m n ) ( x 1 x 2 ⋮ x n )

= ​y1​y2​⋮ym​​ ​= ​a11​a21​⋮am1​​a12​a22​⋮am2​​⋯⋯⋯​a1n​a2n​⋮amn​​ ​ ​x1​x2​⋮xn​​ ​
就确定了一个从 ${\mathbb{R}}^n$ 到 ${\mathbb{R}}^m$ 的映射，并且是个线性映射。

不妨设 $V_n$，$U_m$ 分别是 $n$ 维和 $m$ 维线性空间，$T$ 是一个从 $V_n$ 到 $U_m$ 的映射，则线性变化具有下述基本性质：

性质 1　$T(0)=0$

证明　根据定义 2，任给 $\mathbf{\alpha }\in V_n$，则有 $T(0)=T(0\mathbf{\alpha })=0T(\mathbf{\alpha })=0$。得证。

性质 2　$T(-\mathbf{\alpha })=-T(\mathbf{\alpha }$)。

证明　根据定义 2，有$T(-\mathbf{\alpha })=T[(-1)\times \mathbf{\alpha }]=(-1)\times T(\mathbf{\alpha })=-T(\mathbf{\alpha })$。得证。

性质 3　若 $\mathbf{\beta }=k_1{\mathbf{\alpha }}_1+k_2{\mathbf{\alpha }}_2+\cdots +k_m{\mathbf{\alpha }}_m$，则 $T(\mathbf{\beta })=k_{1}T({\mathbf{\alpha }}_1)+k_{2}T({\mathbf{\alpha }}_2)+\cdots +k_{m}T({\mathbf{\alpha }}_m)$。

证明见 “【证明】线性映射不影响向量组的线性组合”。

性质 4　若 ${\mathbf{\alpha }}_1,{\mathbf{\alpha }}_2,\cdots ,{\mathbf{\alpha }}_m$ 线性相关，则 $T({\mathbf{\alpha }}_1),T({\mathbf{\alpha }}_2),\cdots ,T({\mathbf{\alpha }}_m)$ 亦线性相关。

证明见 “【证明】若向量组线性相关，则向量组的线性映射也线性相关”。

性质 5　线性变换 $T$ 的像集 $T(V_n)$ 是一个线性空间。

证明见 “【证明】线性变换的像集是一个线性空间”。

线性空间 $T$ 的像集 $T(V_n)$ 的线性空间，称为线性变换 %T% 的 像空间。

性质 6　使 $T(\mathbf{\alpha })=0$ 的 $\mathbf{\alpha }$ 的全体
N T = { α ∣ α ∈ V n , T ( α ) = 0 } N_T = \{ \boldsymbol{\alpha} | \boldsymbol{\alpha} \in V_n, T(\boldsymbol{\alpha}) = \boldsymbol{0} \} NT​={α∣α∈Vn​,T(α)=0}
也是一个线性空间。

证明见 “【证明】线性变换的核是一个线性空间”。

$N_T$ 称为线性变换 $T$ 的 核。