不变子空间

定义

  对于线性空间$V$的一个子空间$W$，如果存在一个线性变换$T$，对$W$中的任意向量$w$，有$T(w)\in W$，那么$W$就被成为$V$的$T$不变子空间invariant subspace。这么说非常干，我举个例子：
A = [ 22 − 84 6 − 23 ] w = [ 4 1 ] A=[22−846−23]

w= [41] A=[226​−84−23​]w=[41​]
  对于以上述$w$为基的一维空间$W$就是$C^2$的$A$不变子空间。因为在这个例子中$(4,1{)}^T$是A的特征向量，所以矩阵A作用在特征向量上，不过是延长或缩短了而已。下面我介绍常见的三种不变子空间。

核空间

  任意线性变换的核空间都是不变子空间。核空间指的是经过变换会变成0向量的那些向量组成的空间。这个就无需解释了吧，一般来说线性变换对应的矩阵，如果是满秩的，那么它的核空间就是0空间。所以我举个没有满秩的例子：
A = ( 1 2 1 2 2 2 2 4 2 ) A x = 0 x = k ( 1 0 − 1 ) A=(121222242)

\\ Ax=0\\ x=k(10−1) A= ​122​224​122​ ​Ax=0x=k ​10−1​ ​
  以$(1,0,-1{)}^T$为基的子空间就是A的不变子空间，因为$A$会把这个空间的所有向量全部变成0，毫无疑问0向量是属于任何子空间的，所以符合不变子空间定义。核空间也等同于齐次线性方程组的解空间。

像空间

  像空间也叫值域，因为满秩的矩阵会把所有向量变成平凡子空间，所以我依旧举一个没满秩的矩阵作为例子:
A = ( 1 1 1 2 1 2 3 1 3 ) A=(111212313)

\\ A= ​123​111​123​ ​
  这个空间的像空间是一个平面。实际上它是有下面两个基：
$$w_1=\left(\begin{array}{c}1\\ 2\\ 3\end{array}\right),w_2=\left(\begin{array}{c}1\\ 1\\ 1\end{array}\right)$$
  其实直白的说，就是矩阵A自己的所有列的最大线性无关组，也就是A的列向量张成的空间就是像空间，或者是值域。对于满秩的矩阵，像空间是整个空间，所以不变子空间也就是平凡不变子空间$V$了。

特征空间

  因为矩阵仅仅放大或缩小自己的特征向量，矩阵所有的特征向量所在的空间就是特征空间。特征空间也是不变子空间。这个就无需解释了吧，哈哈，举个例子：
A = ( 1 1 1 2 1 2 3 1 3 ) λ 1 = 5 , λ 2 = λ 3 = 0 λ 1 = 5 , A − 5 I = 0 ⇒ w = ( 3 5 7 ) A=(111212313)

\\ \lambda_1=5,\lambda_2=\lambda_3=0\\ \lambda_1=5,A-5I=0\Rightarrow w=(357) A= ​123​111​123​ ​λ1​=5,λ2​=λ3​=0λ1​=5,A−5I=0⇒w= ​357​ ​
  由$(3,5,7{)}^T$构成的直线就是A不变子空间，这种非常容易理解。
  至此，三种常见的不变子空间就介绍完成了。