LeetCode刷题复盘笔记—一文搞懂动态规划系列（第二篇）746. 使用最小花费爬楼梯

今日主要总结一下动态规划的一道题目，746. 使用最小花费爬楼梯

题目：746. 使用最小花费爬楼梯

题目描述：
给你一个整数数组 cost ，其中 cost[i] 是从楼梯第 i 个台阶向上爬需要支付的费用。一旦你支付此费用，即可选择向上爬一个或者两个台阶。

你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。

请你计算并返回达到楼梯顶部的最低花费。

示例 1：

输入：cost = [10,15,20]
输出：15
解释：你将从下标为 1 的台阶开始。

• 支付 15 ，向上爬两个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 15 。
  示例 2：

输入：cost = [1,100,1,1,1,100,1,1,100,1]
输出：6
解释：你将从下标为 0 的台阶开始。

• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 2 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 4 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 6 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达下标为 7 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬两个台阶，到达下标为 9 的台阶。
• 支付 1 ，向上爬一个台阶，到达楼梯顶部。
  总花费为 6 。

提示：

2 <= cost.length <= 1000
0 <= cost[i] <= 999

本题重难点

大家在做这道题之前最好做一下70. 爬楼梯
这道题，本题是70. 爬楼梯的进阶版
或者看一下一文搞懂动态规划系列（第一篇）509. 斐波那契数70. 爬楼梯我对爬楼梯这道题有详细的讲解

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

后面的讲解中我都是围绕着这五点来进行讲解。

可能刷过动态规划题目的同学可能都知道递推公式的重要性，感觉确定了递推公式这道题目就解出来了。
其实 确定递推公式 仅仅是解题里的一步而已！
一些同学知道递推公式，但搞不清楚dp数组应该如何初始化，或者正确的遍历顺序，以至于记下来公式，但写的程序怎么改都通过不了。
后序的讲解的大家就会慢慢感受到这五步的重要性了。

1. 首先确定dp数组以及下标的含义
   使用动态规划，就要有一个数组来记录状态，本题只需要一个一维数组dp[i]就可以了。
   dp[i]的定义(往往就是题目要最终求得的结果)：本题即到达第i台阶所花费的最少体力为dp[i]。
   对于dp数组的定义，大家一定要清晰！

2. 第二步是确定递推公式
   一些同学可能想为什么要先确定递推公式，然后在考虑初始化呢？——因为一些情况是递推公式决定了dp数组要如何初始化！
   确定递推公式
   可以有两个途径得到dp[i]，一个是dp[i-1] 一个是dp[i-2]。
   dp[i - 1] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 1] + cost[i - 1]。
   dp[i - 2] 跳到 dp[i] 需要花费 dp[i - 2] + cost[i - 2]。
   那么究竟是选从dp[i - 1]跳还是从dp[i - 2]跳呢？
   一定是选最小的，所以dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);

3. dp数组如何初始化
   看一下递归公式，dp[i]由dp[i - 1]，dp[i - 2]推出，既然初始化所有的dp[i]是不可能的，那么只初始化dp[0]和dp[1]就够了，其他的最终都是dp[0]dp[1]推出。
   那么 dp[0] 应该是多少呢？ 根据dp数组的定义，到达第0台阶所花费的最小体力为dp[0]，那么有同学可能想，那dp[0] 应该是 cost[0]，例如 cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] 的话，dp[0] 就是 cost[0] 应该是1。
   题目描述中明确说了 “你可以选择从下标为 0 或下标为 1 的台阶开始爬楼梯。” 也就是说 从 到达 第 0 个台阶是不花费的，但从 第0 个台阶 往上跳的话，需要花费 cost[0]。
   所以初始化 dp[0] = 0，dp[1] = 0;

4. 确定遍历顺序
   最后一步，递归公式有了，初始化有了，如何遍历呢？
   本题的遍历顺序其实比较简单，简单到很多同学都忽略了思考这一步直接就把代码写出来了。
   因为是模拟台阶，而且dp[i]由dp[i-1]dp[i-2]推出，所以是从前到后遍历cost数组就可以了。
   但是稍稍有点难度的动态规划，其遍历顺序并不容易确定下来。 例如：01背包，都知道两个for循环，一个for遍历物品嵌套一个for遍历背包容量，那么为什么不是一个for遍历背包容量嵌套一个for遍历物品呢？ 以及在使用一维dp数组的时候遍历背包容量为什么要倒序呢？这个系列会持续更新，后面会讲到！

5. 举例推导dp数组
   拿示例2：cost = [1, 100, 1, 1, 1, 100, 1, 1, 100, 1] ，来模拟一下dp数组的状态变化，如下：

如果大家代码写出来有问题，就把dp数组打印出来，看看和如上推导的是不是一样的。

C++代码

方法一、常规动态规划

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        vector<int> dp(cost.size() + 1);
        dp[0] = 0; // 默认第一步都是不花费体力的
        dp[1] = 0;
        for (int i = 2; i <= cost.size(); i++) {
            dp[i] = min(dp[i - 1] + cost[i - 1], dp[i - 2] + cost[i - 2]);
        }
        return dp[cost.size()];
    }
};
1
2
3
4
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6
7
8
9
10
11
12

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(n)

方法二、动归空间复杂度优化

class Solution {
public:
    int minCostClimbingStairs(vector<int>& cost) {
        int dp0 = 0;
        int dp1 = 0;
        int res;
        for(int i = 2; i <= cost.size(); i++){
            res = min((dp0 + cost[i - 2]), (dp1 + cost[i - 1]));
            dp0 = dp1;
            dp1 = res;
        }
        return res;
    }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
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11
12
13
14

时间复杂度：O(n)
空间复杂度：O(1)

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总结

动态规划
英文：Dynamic Programming，简称DP，如果某一问题有很多重叠子问题，使用动态规划是最有效的。
动态规划中每一个状态一定是由上一个状态推导出来的，这一点就区分于贪心，贪心没有状态推导，而是从局部直接选最优的

对于动态规划问题，可以拆解为如下五步曲，这五步都搞清楚了，才能说把动态规划真的掌握了！

1. 确定dp数组（dp table）以及下标的含义
2. 确定递推公式
3. dp数组如何初始化
4. 确定遍历顺序
5. 举例推导dp数组

后面的讲解中我都是围绕着这五点来进行讲解。

可能刷过动态规划题目的同学可能都知道递推公式的重要性，感觉确定了递推公式这道题目就解出来了。
其实 确定递推公式 仅仅是解题里的一步而已！
一些同学知道递推公式，但搞不清楚dp数组应该如何初始化，或者正确的遍历顺序，以至于记下来公式，但写的程序怎么改都通过不了。
后序的讲解的大家就会慢慢感受到这五步的重要性了。

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