（三）Logistic回归的梯度下降

一、单个样本的Logistic回归的梯度下降法

在本节中，我们学习如何计算偏导数来实现Logistic回归的梯度下降法。
我们将使用导数流程图来计算梯度。
首先回顾一下Logistic回归的公式

$z=w^{T}x+b$

$\hat{y}=a=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

$L(a,y)=-(ylog(a)+(1-y)log(1-a))$

现在只考虑单个样本的情况
$L(a,y)=-(ylog(a)+(1-y)log(1-a))$，为Logistic的损失函数，a是Logistic回归的输出，y是样本的基本真值标签值。

现在写出该样本的偏导数流程图
假设样本只有两个，特征x1和x2，为了计算z，我们需要输出参数w1,w2和b，还有样本特征x1，x2，因此用来计算z的偏导数公式，$z=w1\ast x1+w2\ast x2+b$，$\hat{y}=a=\sigma (z)$是偏导数流程图的下一步，最后计算L(a,y).

因此，在逻辑回归中，我们需要做的是变换参数w和b的值，来最小化损失函数。

接下来我们讨论怎样向后计算偏导数，想要计算损失函数$L(a,y)$的导数，首先我们要向前一步，先计算损失函数的导数$\frac{dL(a,y)}{da}$,即L关于变量a的导数，在代码中，我们用da来表示这个变量。如果你熟悉微积分的话，这个da的结果为$\frac{dL(a,y)}{da}=da=\frac{-y}{a}+\frac{1-y}{1-a}$，损失函数的导数计算公式就是这样，计算关于变量a的导数，就是这个式子。

现在计算出da，最终结果关于变量a的导数，现在可以在向后一步，计算dz，dz是代码中的变量名，dz是损失函数关于z的导数，$dz=\frac{dL}{dz}=\frac{dL(a,y)}{dz}=a-y$；其中$\frac{dL}{dz}=\frac{dL(a,y)}{da}\ast \frac{da}{dz}$，其中$\frac{da}{dz}=a\ast (1-a)$，这个推导的过程，即“链式法则”。

现在后向传播的最后一步，计算看看w和b需要如何变化，特别的关于w1的导数$\frac{dL}{dw1}=dw1=x1\ast dz$，同样的$\frac{dL}{dw2}=dw2=x2\ast dz$，$\frac{dL}{db}=db=dz$。

因此关于单个样本的梯度下降法，你说需要做的就是这些事情。使用上面的公式计算dz、dw1、dw2、db。
更新$w1=w1-\alpha \ast dw1;w2=w1-\alpha \ast dw2;b=b-\alpha \ast db$。这是单个样本实例的一次梯度更新的步骤。

详细的推导过程

$z=w^{T}x+b$

$\hat{y}=a=\sigma (z)=\frac{1}{1+e^{-z}}$

$L(a,y)=-(ylog(a)+(1-y)log(1-a))$

$\frac{\partial L(a,y)}{da}=-\frac{y}{a}+(\frac{1-y}{1-a})$

$=\frac{a-y}{a(1-a)}$,其中$\frac{\partial L(a,y)}{da}$就是L(a,y)关于a的偏导数。

$\frac{\partial L(a,y)}{dz}=\frac{\partial L(a,y)}{da}\frac{da}{dz}$,其中

$\frac{da}{dz}=\frac{e^{-z}}{(1+e^{-z}{)}^2}$

$=\frac{1+e^{-z}-1}{(1+e^{-z}{)}^2}$

$=\frac{1}{1+e^{-z}}-\frac{1}{(1+e^{-z}{)}^2}$

$=a-a^2=a(1-a)$

因此，推导出，$\frac{\partial L(a,y)}{dz}=a-y$,代码中用dz表示。

$\frac{\partial L(a,y)}{dw1}=\frac{\partial L(a,y)}{da}\ast \frac{da}{dz}\ast \frac{dz}{dw1}=dw1=x1\ast dz$，代码中，用dw1表示

$\frac{\partial L(a,y)}{dw2}=\frac{\partial L(a,y)}{da}\ast \frac{da}{dz}\ast \frac{dz}{dw2}=dw2=x2\ast dz$，代码中，用dw2表示

$\frac{\partial L(a,y)}{db}=\frac{\partial L(a,y)}{da}\ast \frac{da}{dz}\ast \frac{dz}{db}=db=dz$，代码中，用db表示

对参数w和b进行更新，其中α是学习率
$w1=w1-\alpha \ast dw1$
$w2=w1-\alpha \ast dw2$
$b=b-\alpha \ast db$

二、m个样本的Logistic回归的梯度下降法

首先，我们需要记住关于成本函数J(w,b)的定义
$J(w,b)=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^{m}L(a^{(i)},y^{(i)})$
$a^{(i)}={\hat{y}}^{(i)}=\sigma (z^{(i)})=\sigma (w^T{x}^{(i)}+b)$
全局成本函数是一个求和，实际上是1到m项，损失函数和的平均。
它表明全局成本函数对w1的导数，也同样是各项损失函数对w1导数的平均。
$\frac{\partial }{\partial w1}J(w,b)=\frac{1}{m}{\sum }_{i=1}^m\frac{\partial }{\partial w1}L(a^{(i)},y^{(i)})$，其中$\frac{\partial }{\partial w1}L(a^{(i)},y^{(i)})=dw{1}^{(i)}=(x^{(i)},y^{(i)})$,即对单个训练样本进行计算，所以真正需要做的是计算这些导数，如我们之前的训练样本上做的，并且求平均，会得到全局梯度值，你可以将它直接应用到梯度下降算法中。
让我们将其使用到一个具体的算法中。
J = 0;dw1 = 0;dw2 = 0;db = 0
For i = 1 to m
        $z^{(i)}=w^T{x}^{(i)}+b$
        $a^{(i)}=\sigma (z^{(i)})$
        $J+=-[y^{(i)}log{a}^{(i)}+(1-y^{(i)})log(1-a^{(i)})]$
        $d{z}^{(i)}=a^{(i)}-y^{(i)}$
        $dw1+=x{1}^{(i)}d{z}^{(i)}$ 目前特征2个，n=2
        $dw2+=x{2}^{(i)}d{z}^{(i)}$
        $db+=d{z}^{(i)}$
J/=m
dw1/=m
dw2/=m
db/=m
其中，
$dw1=\frac{\partial J}{\partial w1}$
$w1:=w1-\alpha dw1$
$w2:=w2-\alpha dw2$
$b:=b-\alpha db$
上述代码只应用了一次梯度下降法，因此，你需要重复上述内容很多次，以应用多次梯度下降。
上述计算中有两个缺点，即我们需要编写两个for循环，第一个for循环是遍历m个训练样本的小循环，第二个for循环是遍历所有特征的for循环，这个例子中，我们有两个特征，所以n等于2，n_x等于2，但是如果你有更多特征，你就需要一个for循环，来遍历所有的n个特征，当你应用深度学习算法，你会发现，在代码中显式的使用for循环，会使算法效率很低。同时在深度学习领域，会有越来越大的数据集，所以能够应用你的算法，完全不用显式for循环的话，会是重要的，会帮助你处理更大的数据集，有一门向量化技术，帮助你的代码，摆脱这些显式的for循环。在深度学习的早期，向量化技术有时候用来加速运算是非常棒的，在深度学习时代，用向量化来摆脱for循环已经变得相当重要。