03 数学软件与建模---微分方程建模

一、计算 

1.微分方程的解析法

 //2015年之后的版本去掉了simple

//现在用simplify代替 

2.微分方程的数值解

   

 高阶微分方程化为一阶微分方程

 

//解微分方程组的时候后安排位置用的的

//zeros(2,1)设置了一个两行一列的矩阵

//后面的第一个方程Dy(1)就是这个矩阵的第一行

//以此类推。如果方程组有5个方程就是zeros(5,1)了。 

 matlab中plot（x，y（：，1））里面的（：，1）是什么意思啊，1能改成100吗。原谅我是个matlab初学者_百度知道 (baidu.com)

二、微分方程建模的基本规则  

1、寻找改变量 一般说来微分方程问题都遵循这样的文字等式

变化率（微商）=单位增加量--单位减少量

等式通常是利用已有的原则或定律。

2.对问题中的特征进行数学刻画

3.用微元法建立微分方程

4.确定微分方程的定解条件（初边值条件）

5.求解或讨论方程（数值解或定性理论）

6.模型和结果的讨论与分析

三、Malthus模型与Logistic模型

为了保持自然资料的合理开发与利用，人类必须保持并控制生态平衡，甚至必须控制人类自身的增长。本节将建立几个简单的单种群增长模型，以简略分析一下这方面的问题。

种群的数量本应取离散值，但由于种群数量一般较大，为建立微分方程模型，可将种群数量看作连续变量,由此引起的误差将是十分微小的。

1.模型1 马尔萨斯（Malthus）模型

 

Malthus模型实际上只有在群体总数不太大时才合理，到总数增大时，生物群体的各成员之间由于有限的生存空间，有限的自然资源及食物等原因，就可能发生生存竞争等现象。 

所以Malthus模型假设的人口净增长率不可能始终保持常数，它应当与人口数量有关。

2.模型2  Logistic模型

 

（3.8）被称为Logistic模型或生物总数增长的统计筹算律，是由荷兰数学生物学家弗赫斯特（Verhulst）首先提出的。一次项系数是负的，因为当种群数量很大时，会对自身增大产生抑制性，故一次项又被称为竞争项。 

 (3.9)式还有另一解释，由于空间和资源都是有限的，不可能供养无限增长的种群个体，当种群数量过多时，由于人均资源占有率的下降及环境恶化、疾病增多等原因，出生率将降低而死亡率却会提高。设环境能供养的种群数量的上界为K（近似地将K看成常数），N表示当前的种群数量，K-N恰为环境还能供养的种群数量，（3.9）指出，种群增长率与两者的乘积成正比，正好符合统计规律，得到了实验结果的支持，这就是（3.9）也被称为统计筹算律的原因。 

//出现问题：Support of character vectors and strings will be removed in a future release. Use sym objects to define differential equations instead.

解决方法：

(5条消息) MATLAB中解微分方程在2020b版本中出现警告-编程语言-CSDN问答 //

在matlab中怎么定义变量？_百度知道 (baidu.com)

 3.模型检验