基础二叉树及其高频面试题

目录

一、树的概念及其结构

1.1 树的概念

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示法

二、二叉树的概念及其结构

2.1 概念

2.2 特殊二叉树

2.3 二叉树的性质

2.4 二叉树的存储结构

顺序存储

链式存储

三、链式二叉树

3.1 遍历方式

深度优先遍历:DFS

层序遍历:BFS(广度优先遍历)

3.2 二叉树的创建和销毁

四、常见面试题

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普通的二叉树其实在实际运用中并不能发挥出什么作用。但是它是我们学习后续的二叉搜索树、AVL树、红黑树等数据结构时必备的基础，常见的二叉树面试题中使用的基本上也是普通二叉树，所以学好普通二叉树也是十分重要的。

一、树的概念及其结构

1.1 树的概念

树是一种非线性的数据结构，它是由n(n>=0)个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它称为树，是因为它看起来像一棵倒挂的树，根部分朝上，叶子部分朝下。

特点:

1. 树有一个特殊的结点，称为根结点，根节点没有前驱结点

2. 除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1 <= i <= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继

3. 树是递归定义的

注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构
 

1.2 树的相关概念

1.3 树的表示法

树有很多种表示方式如：双亲表示法，孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表示法等。

我们这里就简单的了解其中最常用的孩子兄弟表示法

typedef int DataType;
struct Node
{
    struct Node* _firstChild1; //第一个孩子结点
    struct Node* _pNextBrother; //指向其下一个兄弟结点
    DataType _data;
};

二、二叉树的概念及其结构

2.1 概念

二叉树是n(n>=0)个结点的有限集合，由一个根结点以及两棵互不相交，分别称为左子树和右子树的二叉树组成

2.2 特殊二叉树

1. 满二叉树:
一棵深度为h且有2^h - 1个结点的二叉树(即每层的结点数都达到最大值)

2. 完全二叉树:
除最后一层外，每层上的结点数都达到最大值，在最后一层上只缺少右边的若干结点
(对于深度为k的且有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点与深度为k的满二叉树中编号从1到n的结点一一对应时，该二叉树被称为完全二叉树)
满二叉树是一种特殊的完全二叉树

2.3 二叉树的性质

1.每个结点最多有两棵子树，即二叉树不存在度大于2的结点

2.二叉树的子树有左右之分，其子树的次序不能颠倒(有序树)

3.在二叉树的第i层上至多有 2^(i-1) 个结点 (i>0)

4.深度为k的二叉树至多有 2^k - 1 个结点(k>0)

5.对于任何一棵二叉树，若度为2的结点树有m个，则叶子数n必为m+1(即n = m+1)

6.具有N个结点的满二叉树的深度为 以2为底(N+1)的对数

7.对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有:
    (1)若i > 0，i位置结点的双亲序号: (i-1)/2        若i = 0，i为根节点编号，无双亲节点
    (2)若2i + 1 < n，i位置结点左孩子序号: 2i + 1    若2i + 1 >= n则无左孩子
    (3)若2i + 2 < n，i位置结点右孩子序号: 2i + 2    若2i + 2 >= n则无右孩子

2.4 二叉树的存储结构

顺序存储

利用数组存储，一般数组只适合表示完全二叉树(不是完全二叉树会有空间上的浪费)，现实中使用中只有堆才会使用数组来存储
二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一个二叉树

具体可以看我的另一篇博客:

(10条消息) 堆结构的深度理解_GG_Bond19的博客-CSDN博客https://blog.csdn.net/GG_Bruse/article/details/127742947

链式存储

二叉树的链式存储结构是指用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素之间的逻辑关系。
通常的方法:链表的每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域(即二叉链)。

链式结构又分为二叉链(left和right)和三叉链(left、right和parent)

typedef int BTDataType;
// 二叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}
// 三叉链
struct BinaryTreeNode
{
    struct BinTreeNode* _pParent; // 指向当前节点的双亲
    struct BinTreeNode* _pLeft; // 指向当前节点左孩子
    struct BinTreeNode* _pRight; // 指向当前节点右孩子
    BTDataType _data; // 当前节点值域
}

三、链式二叉树

3.1 遍历方式

深度优先遍历:DFS

先序(根)遍历:        根 左子树 右子树 NLR    最符合深度优先
中序(根)遍历:        左子树 根 右子树 LNR
后序(根)遍历:        左子树 右子树 根 LRN

typedef char BTDataType;
struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
};
 
void PrevOrder(struct BinaryTreeNode* root)//前序
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	printf("%c ", root->data);
	PrevOrder(root->left);
	PrevOrder(root->right);
}
 
void InOrder(struct BinaryTreeNode* root)//中序
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}  
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}
 
void PostOrder(struct BinaryTreeNode* root)//后序
{
	if (root == NULL) {
		printf("NULL ");
		return;
	}
	PostOrder(root->left);
	PostOrder(root->right);
	printf("%c ", root->data);
}

层序遍历:BFS(广度优先遍历)

设二叉树的根结点所在层数为1，层序遍历就是从所在二叉树的根结点出发，
首先访问第一层的树根结点，然后从左到右访问第二层上的结点，以此类推，从上到下，从左到右，逐层访问树的结点。

void LevelOrder(BinaryTreeNode* root)//层序遍历
{
	Queue q;
	QueueInit(&q);
	if (root != NULL) QueuePush(&q, root);
	while (!QueueIsEmpty(&q))
	{
		struct BinaryTreeNode* front = QueueFront(&q);
		QueuePop(&q);
		printf("%c ", front->data);
		if (front->left != NULL) QueuePush(&q, front->left);
		if (front->right != NULL) QueuePush(&q, front->right);
	}
	QueueDestory(&q);
}

思路: 利用队列完成非递归的层序遍历

1、首先将二叉树的根节点push到队列中，判断队列不为空，就输出队头的元素，
2、遍历过的节点出队列
3、判断节点如果有孩子，就将孩子push到队列中
4、循环以上操作，直到Tree == NULL。

3.2 二叉树的创建和销毁

通过前序遍历的数组来构建二叉树

#include 
#include 
#include 
typedef char BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode {
	struct BinaryTreeNode* left;
	struct BinaryTreeNode* right;
	BTDataType data;
}BinaryTreeNode;
 
BinaryTreeNode* BuyNode(BTDataType x) {
	BinaryTreeNode* node = (BinaryTreeNode*)malloc(sizeof(BinaryTreeNode));
	assert(node);
	node->data = x;
	node->left = node->right = NULL;
	return node;
}
 
BinaryTreeNode* CreateTree(char* str, int* pi) {
	if (str[*pi] == '#') {
		++(*pi);
		return NULL;
	}
	BinaryTreeNode* root = BuyNode(str[(*pi)++]);
	root->left = CreateTree(str, pi);
	root->right = CreateTree(str, pi);
	return root;
}
 
void InOrder(BinaryTreeNode* root) {
	if (root == NULL) return;
	InOrder(root->left);
	printf("%c ", root->data);
	InOrder(root->right);
}
 
void DestoryTree(BinaryTreeNode* root)//后序销毁
{
	if (root == NULL) return;
	DestoryTree(root->left);
	DestoryTree(root->right);
	free(root);
}
int main()
{
	char str[101] = { 0 };
	scanf("%s", str);
 
	int i = 0;
	BinaryTreeNode* root = CreateTree(str, &i);
 
	InOrder(root);
 
	DestoryTree(root);
	return 0;
}

四、常见面试题

未完