博迪投资学·投资组合：第六七章的模型总结

博迪投资学·投资组合：第六七章的模型总结
风险资产的占比问题

从经济学上讲，赌博是为了享受冒险的乐趣而承担风险，而投机则指为了风险溢价而承担风险。把赌博变成投机需要有足够的风险溢价来补偿风险厌恶投资者。

由于不同的人的风险厌恶水平不同，金融学领域提出了一个

投资效用函数【6-1】：

$U = E (r) - \frac{1}{2} A σ^{2}$
U是效用值，A是投资者的风险厌恶系数。系数1/2只是一个约定俗成的数值。使用式(6-1)时，收益率必须采用小数形式而不是百分数。

由公式6-1可推导

无差异曲线

$E (r) = \frac{1}{2} A σ^{2} + U$

单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

我们对符号作以下规定：
- P：风险投资组合
- F：无风险资产
- C：整个投资组合
- $r_{P}$ ：风险组合P的收益率
- $E (r_{p})$ ：风险组合P的期望收益
- $σ_{p}$ ：风险组合P的标准差
- $r_{f}$ ：无风险资产收益率
- $r_{c}$ ：整个投资组合的收益率
我们假定在投资者投资预算中给风险投资组合P的比例为y,剩余部分1-y分配给无风险资产F。

模型【6-2】:整体投资组合收益率

$r_{c} = y r_{p} + (1 - y) r_{f}$

模型【6-3】:整体投资组合期望收益

任何一个投资组合的基本收益率都是无风险资产收益率。另外，投资组合总期望获得风险溢价，希望获取这一溢价的投资者为风险厌恶的，如果没有风险溢价，他们不会愿意持有风险资产。

其中 $E (r_{p})$ 可由模型【6-1】计算

$\begin{array}{rcl} (1) & E (r_{c}) & = & y E (r_{p}) + (1 - y) r_{f} \\ (2) & = & r_{f} + y [E (r_{p}) - r_{f}] \end{array}$

模型【6-4】:整体投资组合标准差

当把一个风险资产和一个无风险资产放到一个资产组合中，整个组合的标准差就是风险资产的
标准差乘以它在投资组合中的比例。

$σ_{c} = y σ_{p}$
我们对此进行整理可以得到等价公式：

$y = \frac{σ_{c}}{σ_{p}}$

资本配置线

在给定的y值下可以以风险资产标准差 $σ_{p}$ 为横坐标、投资组合期望收益 $E (r_{c})$ 为横坐标绘制资本配置线。

这条直线被称为资本配置线(capital allocation line,CAL),表示对投资者而言所有可能的风险收益组合。资本配置线的斜率记为S,等于每增加一单位标准差整个投资组合增加的期望收益。因此，斜率也被称为报酬-波动性比率(reward-to-volatility ratio),或者夏普比率。

模型【6-5】：期望收益和标准差之间的权衡关系

$E (r_{c}) = r_{f} + y [E (r_{p}) - r_{f}] = r_{f} + \frac{σ_{c}}{σ_{p}} [E (r_{p}) - r_{f}]$

模型【6-6】：夏普比率

因此，整个组合关于标准差 $σ_{p}$ 的期望收益函数 $E (r_{c})$ 是一条直线，截距为 $r_{f}$ ，斜率为夏普比率S

$S = \frac{E (r_{p}) - r_{f}}{σ_{p}}$
头寸：银行逐渐用头寸代指资金数量，来表示款项，然后这个词就一直沿用至今了。

风险资产最优配置比例

投资者试图通过选择风险资产的最优配置y使效用最大化。

$Max U = E (r_{c}) - \frac{1}{2} A σ_{c}^{2} = r_{f} + y [E (r_{P}) - r_{f}] - \frac{1}{2} A y^{2} σ_{P}^{2}$
学过微积分的学生知道最大化问题是使一阶导数为零（关于y求导）。这样求解出风险厌恶者风险资产的最优头寸 $y^{*}$ 如下

模型【6-7】：风险资产最优头寸

$y^{*} = \frac{E (r_{p}) - r_{f}}{A σ_{P}^{2}}$
这个解显示风险资产的最优头寸正如所预料的那样，与风险厌恶程度和风险水平（由方差表示)有关。

风险资产的内部比例问题

先提一下风险，系统性风险是市场的风险，是不可分散的风险；非系统性风险是不同公司所特有的风险，可以通过分散投资降低的风险，也就是我们常说的不要把鸡蛋放在一个篮子里面。20只股票可以基本消散非系统性风险。

两个风险资产的组合

两个风险资产构成的组合相对容易分析，其原理也可应用于多个资产组合。所以我们讨论两个资产（一个专门投资长期债券的基金D,一个专门投资股票的基金E)构成的资产配置。表7-1列出了这两个基金的收益分布）

投资于债券基金的比例定义为 $w_{D}$ ，剩余的 $1 - w_{D}$ 定义为 $w_{E}$ ，投资于股票基金， $r_{D}$ 和 $r_{E}$ 分别是债券基金和股票基金的收益率，这个组合的收益率为 $r_{p}$

模型【7-1】：风险资产组合收益率

$r_{p} = w_{D} r_{D} + w_{E} r_{E}$

模型【7-2】：风险资产组合期望收益

组合的期望收益是两种证券期望收益的加权平均值，权重分别为其投资的比例

期望收益不受资产

相关性影响

$E (r_{p}) = w_{D} E (r_{D}) + w_{E} E (r_{E})$

模型【7-3】：风险资产组合方差

由两个风险资产构建的投资组合风险度量模型

$σ_{p}^{2} = w_{D}^{2} σ_{D}^{2} + w_{E}^{2} σ_{E}^{2} + 2 w_{D} w_{E} Cov (r_{D}, r_{E})$
可以看出组合的方差并不像期望收益率，并不是两个基金方差的加权平均。

模型【7-4】：协方差

一个变量和它自己的协方差就是这个变量的方差。

$Cov (r_{D}, r_{D}) = σ_{D}^{2}$

模型【7-5】：组合方差的另一种表达方式为

$σ_{P}^{2} = w_{D} w_{D} Cov (r_{D}, r_{D}) + w_{E} w_{E} Cov (r_{E}, r_{E}) + 2 w_{D} w_{E} Cov (r_{D}, r_{E})$
组合方差就是协方差的加权值，权重为协方差内一对资产在组合中权重的乘积。

模型【7-6】：组合协方差计算公式

注意到协方差可由相关系数 $ρ_{D E}$ 计算得到

$Cov (r_{D}, r_{E}) = ρ_{D E} σ_{D} σ_{E}$
由此我们可以进行组合标准差最优公式的推导：

风险资产组合标准差最优公式

$w_{Min} (D) = \frac{σ_{E}^{2} - Cov (r_{D}, r_{E})}{σ_{D}^{2} + σ_{E}^{2} - 2 Cov (r_{D}, r_{E})}$
纳入【7-6】可得

$w_{Min} (D) = \frac{σ_{E}^{2} - ρ_{D E} \cdot σ_{D} \cdot σ_{E}}{σ_{D}^{2} + σ_{E}^{2} - 2 ρ_{D E} \cdot σ_{D} \cdot σ_{E}}$

模型【7-7】：组合方差计算公式-相关系数

没给协方差，只给了相关系数的情况下使用

$σ_{p}^{2} = w_{D}^{2} σ_{D}^{2} + w_{E}^{2} σ_{E}^{2} + 2 w_{D} w_{E} σ_{D} σ_{E} ρ_{D E}$

模型【7-8】：组合方差计算公式-相关系数为1

$σ_{p}^{2} = {(w_{D} σ_{D} + w_{E} σ_{E})}^{2}$

模型【7-9】：组合标准差计算公式-相关系数为1

$σ_{p} = w_{D} σ_{D} + w_{E} σ_{E}$
因此，组合标准差就是两个收益完全正相关资产标准差的加权平均。在其他情况下，相关系数小于
1,使得组合标准差小于两个资产标准差的加权平均。

模型【7-10】：组合方差计算公式-相关系数为-1

$σ_{P}^{2} = {(w_{D} σ_{D} - w_{E} σ_{E})}^{2}$

模型【7-11】：组合标准差计算公式-相关系数为-1

$σ_{p} = | w_{D} σ_{D} - w_{E} σ_{E} |$
当ρ=-1时，通过解下式可以得到完全对冲的头寸

模型【7-12】：组合标准差为0-相关系数为-1

$\begin{matrix} w_{D} σ_{D} - w_{E} σ_{E} = 0 \\ w_{D} = \frac{σ_{E}}{σ_{D} + σ_{E}} \\ w_{E} = \frac{σ_{D}}{σ_{D} + σ_{E}} = 1 - w_{D} \end{matrix}$

最优风险资产组合

不同的风险资产组合会带来不同的期望收益，在图中表示为两条斜率不同的直线，显然斜率越大的分险资产组合夏普比率越大。那么想要找到最优风险资产组合就是要找到与投资可行集相交的

我们可以列出下式：

$S_{p} = \frac{E (r_{p}) - r_{f}}{σ_{p}}$
$E (r_{p}) = w_{D} E (r_{D}) + w_{E} E (r_{E})$
$σ_{p} = \sqrt{w_{D}^{2} σ_{D}^{2} + w_{E}^{2} σ_{E}^{2} + 2 w_{D} w_{E} Cov (r_{D}, r_{E})}$
当我们最大化目标函数 $S_{p}$ 时，需要满足组合权重和为1的约束条件，即 $W_{D} + W_{E} = 1$ ，因此，我
们需解以下问题

$M a x S_{p} = \frac{E (r_{p}) - r_{f}}{σ_{p}}$

模型【7-13】：两资产最优风险组合比例

$w_{D} = \frac{E (R_{D}) σ_{E}^{2} - E (R_{E}) Cov (R_{D}, R_{E})}{E (R_{D}) σ_{E}^{2} + E (R_{E}) σ_{D}^{2} - [E (R_{D}) + E (R_{E})] Cov (R_{D}, R_{E})}$
$w_{E} = 1 - w_{D}$
最终，我们可以由两种风险资产的最优组合推导至多种风险资产。

模型【7-15/16】：多资产最优风险组合的期望收益和方差

$\begin{aligned} E (r_{p}) = \sum_{i = 1}^{n} w_{i} E (r_{i}) \\ σ_{p}^{2} = \sum_{i = 1}^{n} \sum_{j = 1}^{n} w_{i} w_{j} Cov (r_{i}, r_{j}) \end{aligned}$
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原文地址：https://www.cnblogs.com/ranxi169/p/16882154.html

风险资产的占比问题

单一风险资产与单一无风险资产的投资组合

风险资产最优配置比例

风险资产的内部比例问题

两个风险资产的组合

最优风险资产组合