特征值求导推导

设矩阵$A$的第$i$大特征值为${\lambda }_i$， 对应特征向量$v_i$，$A=A^H$ 求：
$${\nabla }_A{\lambda }_i=\frac{\partial {\lambda }_i}{\partial A^{\ast }}$$

目标： 写出 $$d{\lambda }_i=tr(Bd{A}^H)$$
则有${\nabla }_A{\lambda }_i=B$。

根据特征值定义： $$A{v}_i={\lambda }_i{v}_i,v_i^H{v}_i=1$$
有：
$$d(A{v}_1)=dA\ast v_1+Ad{v}_i=d({\lambda }_i{v}_i)=d{\lambda }_i\ast v_i+{\lambda }_i(d{v}_i)\text{\hspace{1em}(1)}$$
以及：
$$d(v_i^H{v}_i)=d(1)=0=2v_i^{H}d{v}_i\Rightarrow v_i^{H}d{v}_i=0$$
将式(1)左右左乘$v_i^H$， 得到：
$$v_i^H(dA)v_i+v_i^{H}Ad{v}_i=v_i^H(d{\lambda }_i)v_i+v_i^H{\lambda }_i(d{v}_i)$$
而 $v_i^{H}A={\lambda }_i{v}_i$, 因此 $v_i^{H}Ad{v}_i=0$。 类似的， $v_i^H{\lambda }_i(d{v}_i)=0$。
因此：
$$v_i^H(dA)v_i=v_i^H(d{\lambda }_i)v_i=v_i^H{v}_{i}d{\lambda }_i=d{\lambda }_i$$
因此 $(dA=d{A}^H)$
$$d{\lambda }_i=tr(v_i{v}_i^{H}d{A}^H)$$
$${\nabla }_A{\lambda }_i=B=v_i{v}_i^H$$