(建议认真学的人最好别看我的博客)
https://blog.csdn.net/KonnyWen/article/details/104475276别人的一篇博客,明天早上学!
好的我们开始:数位 dp 是指求在数位限制下有多少满足要求的数的 dp \texttt{dp}dp。例如,求“在 [ L , R ] 范围内连续出现过 3 个 3 的数”,“相邻两位之间差为质数的 5 位数”或“在 [ L , R ] 区间内 6 出现的次数”。通常来说会有两种的:递推以及记忆化搜索。
P2602 [ZJOI2010] 数字计数我们选择使用递推,可以用sum[i]表示到i位的时候,1~9的每一个数量之和,仔细想想因为只限定了位数没限定大小,那么其实1 ~ 9的数量都是相等的,0我们稍后考虑算。那么如何从前一位推上来呢,那么其实就是sum[ i ] = sum[ i-1 ]*10+10^(i-1),(i>=2)然后sum[1] 初定为1,那么就可以处理出sum,搞定预处理之后,那么我们考虑[1,n]的出现次数。我们先用一个数组记录下n每一位的数字!然后从最高位往前做,对于一个ABCD这样的数字,分三种情况讨论A的贡献:
1.目前枚举到的数字j 2.目前枚举到的数字j==A,那么只能转移一部分,也就是BCD+1这一部分;
3.那么超过A的部分其实是不用算的。
然后每次往前推进一格,一直推到最低位
其实这样考虑是不完全的,我们应该考虑目前这一位,会对前面每一个数重新造成一次影响,就像已经计算过了一次123,欸~我们有1123,2123,所以要重新计算一次前面的数,但只能计算num[i]次,然后考虑前面的数对这一位能造成的贡献,那么就像前面讨论说的那样分三种。
然后考虑0,那么0其实就是所有情况减去前导0,那么怎么算呢考虑一下,若是在第三位然后前导0的数量就是0~99的数量便是10^(i-1)。别人的博客看吧看吧。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,cnt[101],ten[101];//cnt是1~9在每一位的计数
void init()
{
ten[0]=1;
for(int i=1;i<=12;i++)
{
ten[i]=ten[i-1]*10;//预处理10^i
cnt[i]=cnt[i-1]*10+ten[i-1];//预处理每一位的值,注意不是前缀和哈,是本身的贡献
}
return ;
}
int num[10001];
void make(int x,int f[])
{
int k=x,len=0;
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;
for(int i=len;i>=1;i--)
{
for(int j=0;j<=9;j++) f[j]+=cnt[i-1]*num[i];//对前面每一位都会造成贡献
for(int j=0;j<=num[i]-1;j++) f[j]+=ten[i-1];//前面i-1为对i位为j时的贡献
k-=num[i]*ten[i-1];f[num[i]]+=k+1;//算上num[i]0000的情况
f[0]-=ten[i-1];
}
return ;
}
int f1[11],f2[11];
signed main()
{
int a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
init();make(a-1,f1);make(b,f2);
for(int i=0;i<=9;i++) printf("%lld ",f2[i]-f1[i]);
return 0;
}
然后做一道寄搜,P2657 [SCOI2009] windy 数,我抄的那个还是麻烦了,他选择的是先用递推算除最高位的所有答案,然后再从最高位开始找起。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,f[18][18],g[18][18],num[18];
void init()
{
for(int i=0;i<=9;i++) f[1][i]=1;
for(int i=2;i<=10;i++)
{
for(int j=0;j<=9;j++)
{
for(int J=0;J<=9;J++)
{
if(abs(j-J)>=2) f[i][j]+=f[i-1][J];
}
}
}
return ;
}
int dfs(int w,int d,bool free)
{
if(!w) return 1;
if(free&&~g[w][d]) return g[w][d];
int up=free?9:num[w],rt=0;
for(int i=0;i<=up;i++)
{
if(abs(i-d)>=2) rt+=dfs(w-1,i,free||i<up);
}
if(free) g[w][d]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0,ans=0;
memset(g,-1,sizeof(g));
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;
for(int i=1;i<=num[len];i++) ans+=dfs(len-1,i,i<num[len]);
for(int i=len-1;i>=1;i--)
{
for(int j=1;j<=9;j++) ans+=f[i][j];//printf("%lld\n",ans);
}
return ans;
}
main()
{
int a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);init();
printf("%lld\n",dp(b)-dp(a-1));
return 0;
}
决定重新打一个板子:
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,f[1001][11],num[100001];//我们用f[i,j]表示搜到i,当前的值(i-1)值是j
int dfs(int len,int x,bool free,bool zer)
{
if(!len) return 1;
if(!free&&!zer&&f[len][x]!=-1) return f[len][x];
int up=9,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++)
{
if(abs(x-i)<2&&!zer) continue ;
if(zer&&i==0) rt+=dfs(len-1,i,i==up&&free,true);
else rt+=dfs(len-1,i,i==up&&free,false);
}
if(!free&&!zer) f[len][x]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;
return dfs(len,0,true,true);
}
main()
{
int a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
printf("%lld",dp(b)-dp(a-1));
return 0;
}
欸P4999 烦人的数学作业这一题!是一个比较简单的数位dp,我决定摆烂。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,mod=1e9+7,cnt[100],ten[101];
void init()
{
ten[0]=1;
for(int i=1;i<=20;i++)
{
ten[i]=(ten[i-1]*10)%mod;
cnt[i]=(cnt[i-1]*10+ten[i-1])%mod;
}
return ;
}
int num[100];
void make(int x,int f[])
{
int k=x,len=0;
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;//printf("<<%lld",len);
for(int i=len;i>=1;i--)
{
for(int j=0;j<=9;j++) f[j]=(f[j]+cnt[i-1]*num[i])%mod;
for(int j=0;j<=num[i]-1;j++) f[j]=(f[j]+ten[i-1])%mod;
k-=num[i]*ten[i-1];f[num[i]]=(f[num[i]]+k+1)%mod;
}
return ;
}
int f1[100],f2[100];
signed main()
{
int t;scanf("%lld",&t);init();
while(t--)
{
int a,b,ans=0;scanf("%lld%lld",&a,&b);
memset(f1,0,sizeof(f1));make(a-1,f1);
memset(f2,0,sizeof(f2));make(b,f2);
for(int i=0;i<=9;i++) ans=(ans+(f2[i]-f1[i])*i%mod+mod)%mod;
printf("%lld\n",ans);
}
return 0;
}
P6218 [USACO06NOV] Round Numbers S
相对而言,我认为寄搜的方式会更好理解些。那么你需要注意的地方是,前导0以及是否为最大值,若是的话就要单独计算,若不是,那就直接继承之前的值。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,f[101][110][101];//剩下a位,b个1,c个0 (其实可以化简)
int num[100001],mod=1e7+7;
int dfs(int len,int sum0,int sum1,bool free,bool zero)//free指的是前一位能否取到最大值,zero指的是是否有前导0
{
if(len==0)
{//printf("%lld %lld %lld\n",len,sum0,sum1);
if(sum1<=sum0) return 1;
else return 0;
}
if(!free&&!zero&&f[len][sum0][sum1]!=-1) return f[len][sum0][sum1];
int up=1,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++)
{
if(zero&&i==0) rt+=dfs(len-1,0,0,free && i==up,true);
else rt+=dfs(len-1,sum0+(i==0),sum1+(i==1),free && i==up,false);
}
if(!free&&!zero) f[len][sum0][sum1]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x&1,x>>=1;//printf("%lld\n",len);
return dfs(len,0,0,true,true);
}
main()
{
int a,b;scanf("%lld%lld",&a,&b);
printf("%lld",dp(b)-dp(a-1));
return 0;
}
好像,我大概也懂了些寄搜罢P1836 数页码
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,num[10001],f[12][10001];
int dfs(int len,int sum,bool free,bool zer)
{
if(len==0) return sum;
if(!free&&!zer&&f[len][sum]!=-1) return f[len][sum];
int up=9,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++) rt+=dfs(len-1,sum+i,free&(i==up),zer &(i==0));
if(!free&&!zer) f[len][sum]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;
return dfs(len,0,true,true);
}
main()
{
int x;scanf("%lld",&x);
printf("%lld",dp(x));
return 0;
}
P4317 花神的数论题这个tm裸的但是模的很阴间然后数组要开50你敢信。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,num[1000001],f[50][100001],mod=10000007;
int dfs(int len,int x,bool free,bool zer)
{
if(!len) return max(x,1ll);
if(!free&&!zer&&f[len][x]!=-1) return f[len][x]%mod;
int up=1,rt=1;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++) rt=(rt*dfs(len-1,x+i,free&i==up,zer&&i==0))%mod;
if(!free&&!zer) f[len][x]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x&1,x>>=1;
return dfs(len,0,true,true);
}
signed main()
{
int x;scanf("%lld",&x);
printf("%lld",dp(x));
return 0;
}
其实做了这么多题,都只是为了补一题:Digit Sum草走忽略,这东西有东西的,不干净,我不知道调了半天都不知道为什么错。
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,k,num[20001],f[20001][1000],mod=1e9+7;
int dfs(int len,int x,bool free,bool zer)
{
if(len==0) return (x%k==0);
if(!free&&!zer&&f[len][x%k]!=-1) return f[len][x%k];
int up=9,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++) rt=(rt+dfs(len-1,(x+i)%k,free & (i==up),zer & (i==0)))%mod;
if(!free&&!zer) f[len][x%k]=rt%mod;
return rt%mod;
}
int dp(char x[])
{
int len=strlen(x+1);memset(f,-1,sizeof(f));
for(int i=1;i<=len;i++) num[len-i+1]=x[i]-'0';
return dfs(len,0,true,true);
}
signed main()
{
char x[100001];scanf("%s%lld",x+1,&k);
int ans=dp(x)%mod;
// if(ans==0) printf("0");
// else
printf("%lld",(ans-1+mod)%mod);
return 0;
}
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,num[101],f[100][1001];
int dfs(int len,int st,bool free,bool zer)
{
if(st>3) return 0;
if(len==0) return 1;
if(!free&&!zer&&f[len][st]!=-1) return f[len][st];
int up=9,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++) rt+=dfs(len-1,st+(i!=0),free & i==num[len],zer & (i==0));
if(!zer&&!free) f[len][st]=rt;
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;
return dfs(len,0,true,true);
}
signed main()
{
int t;scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
int l,r;scanf("%lld%lld",&l,&r);
printf("%lld\n",dp(r)-dp(l-1));
}
return 0;
}
然后又重温一遍板子统计问题 The Counting Problem
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,cnt[10001],ten[10001];
int num[10001],f1[10001],f2[10001];
void init()
{
ten[0]=1;
for(int i=1;i<=14;i++)
{
ten[i]=ten[i-1]*10;
cnt[i]=cnt[i-1]*10+ten[i-1];
}
return ;
}
void dp(int x,int f[])
{
int len=0,k=x;
while(x) num[++len]=x%10,x/=10;//printf("%lld ",len);
for(int i=len;i>=1;i--)
{
for(int j=0;j<=9;j++) f[j]+=cnt[i-1]*num[i];
for(int j=0;j<=num[i]-1;j++) f[j]+=ten[i-1];
k-=num[i]*ten[i-1];f[num[i]]+=k+1;
f[0]-=ten[i-1];
}
return ;
}
main()
{
int l,r;init();
while(scanf("%lld%lld",&l,&r))
{
if(l==0&&r==0) break;
if(l>r) swap(l,r);
memset(f1,0,sizeof(f1));dp(l-1,f1);
memset(f2,0,sizeof(f2));dp(r,f2);
for(int i=0;i<=8;i++) printf("%lld ",f2[i]-f1[i]);
printf("%lld\n",f2[9]-f1[9]);
}
return 0;
}
dfs大法好啊~Salazar Slytherin’s Locket,欸明天就能去看她咯~,害可惜刚刚没有看到呢,不知道人去哪了。好吧刚刚uke的原因是应该开多维的数组来保存每一进制的值,所以这样就可以只初始化一次就行啦。
//观题,最多区十位之数,直接压成二进制,若是最终为0,便可输出,哦对记得0不能算在内;
#include
#define int long long
using namespace std;
int n,m,f[12][100][2001],num[20001],b;
int dfs(int len,int x,bool free,bool zer)
{
if(len==0) return !x;
if(!free&&!zer&&f[b][len][x]!=-1) return f[b][len][x];
int up=b-1,rt=0;if(free) up=num[len];
for(int i=0;i<=up;i++)
{
if(i==0&&zer) rt+=dfs(len-1,x,free & i==up,zer & i==0);
else rt+=dfs(len-1,x^(1<<i),free & i==up,zer & i==0);
}
if(!free&&!zer) f[b][len][x]=rt;//printf("%lld\n",rt);
return rt;
}
int dp(int x)
{
int len=0;//memset(f,-1,sizeof(f));
while(x) num[++len]=x%b,x/=b;
return dfs(len,0,true,true);
}
main()
{
memset(f,-1,sizeof(f));
int t;scanf("%lld",&t);
while(t--)
{
int x,y;scanf("%lld%lld%lld",&b,&x,&y);
printf("%lld\n",dp(y)-dp(x-1));
}
return 0;
}