负数在计算机中的二进制表示方法

Part.I Introduction

因为需要，补充一点『计算机原理』有关的知识。

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首先需了解一下下面几个概念：

• 原码：一个十进制数，按照绝对值大小转换成的二进制数，称为原码。
• 反码：对于负数而言，将二进制数按位取反，所得的新二进制数称为原二进制数的反码。
• 补码：对于负数而言，反码加 1 称为补码。

反码和补码都是对于负数而言的，正数的反码、补码和原码是一样的。

下面举一个例子：比如 8 位机中-3用二进制表示为00000011。那么，他的原码、反码、补码分别为：

• 原码：00000011
• 反码：11111100
• 补码：11111101

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Part.II 负数表示原理

我们回到最开始的问题：负数在计算机中是如何表示的？有一个想法很容易就会被人想到：我用一个二进制位(比如二进制的最高位)专门表示符号(1表示负数，0表示整数)，比如在8位机中-8的二进制表示为1 0001000，+8的二进制表示为0 0001000。但是随手找一本『计算机原理』相关的书籍，它都会告诉你，计算机内部采用 2 的补码(Two’s Complement)来表示负数。

那么为什么用2的补码方式来表示负数呢？首先需要明确一点：计算机内部无论采用什么方式表示负数，其实都是无所谓的，只要能保持一一对应的关系即可。那么，既然任意选择，那么理应选择一种最为方便的方式。2 的补码就是最为方便的方式，其便利之处在于：所有的加法运算都可以使用同一种电路完成。我们不妨将『最高位记为符号位』方式称作方式 A，将『2的补码』方式称为方式 B。下面用 8 位机中16 + 8和16 + (-8)为例说明：

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方式 A：16 + 8二进制加法：

 00010000
+00001000
=00011000	// 24
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3

方式 A：16 + (-8)二进制加法：

 00010000
+10001000
=10011000	// -24
1
2
3

如果『计算负数加法』采用的方法和『计算正数加法』的方法一样的话，那么就会出错。显然需要两种计算策略，从电路上说，就是必须要为加法运算做两种电路。

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方式 B：16 + 8二进制加法：

 00010000
+00001000
=00011000	// 24
1
2
3

方式 B：16 + (-8)二进制加法：

  00010000
+ 11111000
=100001000	// 8(第 9 位溢出舍弃)
1
2
3

显然用『2的补码』方式表示负数做一套电路就行了。

Part.III 代码验证

32 位机（int 用 4 个字节，即 32 位表示的计算机）十进制转二进制的 C++ 代码：

#include 
#include 

using namespace std;

void Ten2Two(int num)
{
    vector<int> temp;
    unsigned int flag = 1;
    while (flag)
    {
        if (num & flag) //********精髓：与每一位进行“与”操作
        {
            temp.push_back(1);
        }
        else
        {
            temp.push_back(0);
        }
        flag = flag << 1; // flag 始终只有一位是1，只有当前位是1时，num & flag才为真
    }

    for (int i = temp.size() - 1; i >= 0; i--)
        cout << temp[i];
}

int main()
{
    int num = -8;
    Ten2Two(num);
    system("pause");
    return 0;
}
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代码输出结果：

11111111111111111111111111111000
// 共 32 位
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2