【POJ No. 1190】 生日蛋糕

【POJ No. 1190】 生日蛋糕

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【题意】

制作一个体积为N π的M 层生日蛋糕，每层都是一个圆柱体。设从下往上数第i （1≤i ≤M ）层蛋糕是半径为Ri 、高度为Hi 的圆柱。当i Ri +1 且Hi >Hi +1 。由于要在蛋糕上抹奶油，所以为了尽可能节约经费，希望蛋糕外表面（底层的下底面除外）的面积Q 最小。

令Q =S π，对给出的N 和M ，找出蛋糕的制作方案（适当的Ri 和Hi 的值），使S 最小。除Q 外，以上所有数据皆为正整数。

【输入输出】

输入：

输入包含两行，第1行为N （N ≤10 000），表示制作的蛋糕的体积为N π；第2行为M （M ≤20），表示蛋糕的层数。

输出：

单行输出一个正整数S （若无解，则S =0）。

【样例】

圆柱体积V =πR^2 H ，侧面积A '=2πRH ，底面积A =πR。

【思路分析】

这道题为在体积和层数一定的情况下，找到合适的半径和高度，使蛋糕表面积最小。可以采用回溯法搜索求解。

① 预处理

从顶层向下计算出最小体积和面积的最小可能值。在从顶层（即第1层）到第i 层的最小体积minv [i ]成立时，第i 层的半径和高度都为i 。此时只计算侧面积，对上表面积只在底层计算一次，底层的底面积即总的上表面积。

void init(){
	minv[0] = mins[0] = 0;
	for(int i = 1; i < 22 ; i++){
		minv[i] = minv[i - 1] + i * i * i;
		mins[i] = mins[i - 1] + 2 * i * i;
	}
}
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【算法设计】

dep指当前深度；sumv、sums分别指当前体积和、面积和；r 、h分别指当前层半径、高度。

① 从底层m 层向上搜，当dep=0时，搜索完成，更新最小面积。

② 剪枝技巧

• 如果当前体积加上剩余上面几层的最小体积大于总体积n ，则退出；
• 如果当前面积加上剩余上面几层的最小面积大于最小面积，则退出；
• 如果当前面积加上剩余面积（剩余体积折算）大于最小面积，则退出。

③ 枚举半径i ，按递减顺序枚举dep层蛋糕半径的每一个可能值i ，第dep层的半径最小值为dep。

• 如果dep=m ，sums=i ×i ，底面积作为外表面积的初始值（总的上表面积，以后只需计算侧面积）。
• 计算最大高度maxh，即dep层蛋糕高度的上限，(n -sumv - minv[dep-1])表示第dep层的最大体积。
• 枚举高度j ，按递减顺序枚举dep层蛋糕高度的每一个可能值j，第dep层的最小高度值为dep。
• 递归搜索子状态，层次为dep-1，体积和为sumv+i ×i ×j ，面积和为sums+2×i ×j ，半径为i -1，高度为j -1，即dfs(dep - 1,sumv+i ×i ×j ,sums+2×i×j ,i -1,j -1)。

【算法实现】

#include
#include

using namespace std;

const int N=30;
const int inf=0x3f3f3f3f;
int n,m,minv[N],mins[N],best;

void init(){
	
    minv[0]=mins[0]=0;
    for(int i=1;i<22;i++){
        minv[i]=minv[i-1]+i*i*i;
        mins[i]=mins[i-1]+2*i*i;
    }
}

void dfs(int dep,int sumv,int sums,int r,int h){
	
    if(!dep){
        if(sumv==n&&sums<best) best=sums;
        return ;
    }
    if(sumv+minv[dep]>n||sums+mins[dep]>best||sums+2*(n-sumv)/r>best) 
		return;
    for(int i=r;i>=dep;i--){
    	
        if(dep==m) sums=i*i;
        int maxh=min((n-sumv-minv[dep-1])/(i*i),h);
        
        for(int j=maxh;j>=dep;j--)
            dfs(dep-1,sumv+i*i*j,sums+2*i*j,i-1,j-1);
    }
}

int main(){
	
    init();
    while(~scanf("%d%d",&n,&m)){
        best=inf;
        dfs(m,0,0,n,n);
        printf("%d\n",best==inf?0:best); 
    }
    
    return 0;
}

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