• 二次型与线性空间

    二次型与对称矩阵

    • 二次型的定义
      • 一个二次型与一个对称矩阵有一一对应的关系
      • 对称矩阵的秩也称二次型的秩
    • 线性替换与合同
      • 线性替换X=CY
      • 特别的,\begin{vmatrix} C \end{vmatrix}\neq0时，称该线性替换为非退化的
      • 数域P上的两个n阶方阵A,B称为合同的，如果存在数域P上的n阶可逆方阵C使得B=C^TAC
    • 合同的性质
      • 反身性
      • 对称性
      • 传递性
    • 二次型的标准型
      • 只含平方项的二次型称为二次型的标准型
      • 定理：任意一个二次型均可经过非退化的线性替换化为仅含平方项的标准形
      • 定理：数域P上任意一个对称矩阵都合同于一个对角矩阵

    实，复二次型的规范形

    • 复数域上二次型的规范形
      • 复二次型的规范形被其秩所唯一决定
      • 定理：任意一个复系数的二次型，经过一适当的非退化的线性替换可以变为规范形，且规范形是唯一的
        • 等价于：任意一个复对称矩阵都合同于一个如右的对角矩阵\begin{pmatrix} E_r & O\\ O& O \end{pmatrix},where\,\,r=rank(A)
    • 实域R上二次型的标准型
      • 定理：实二次型的规范形是唯一的
      • 定理：任意一个实系数的二次型，经过一适当的非退化的线性替换可以变成规范形，且规范形是唯一的
      • 规范形中正（负）平方项的个数称为实二次型的正（负）惯性指数（p,r-p），他们的差称为实二次型的符号差
      • 定理：任意一个实对称矩阵都合同于下方的对角矩阵

    \bigl(\begin{smallmatrix} E_p &O & O\\ O& -E_{r-p} & O\\ O & O & O \end{smallmatrix}\bigr)

    实二次型的正定性

    • 实二次型的正定性
      • 定理：任意一个实二次型经过非退化的线性替换将保持正定性不变
      • 推理
        • f(x_1,x_2,...,x_n)=X'AX是一个n元实二次型，那么下列条件彼此等价
          • 二次型正定
          • 正惯性指数等于阶数
          • A与E合同
          • 存在可逆矩阵使得A=C'C
        • 正定的二次型对应的对称矩阵的行列式大于0
      • 定理：
        • 实二次型正定的充要条件是对应的对称矩阵的顺序主子式全大于零

    线性空间

    线性空间的定义

    • V是一个非空集合，P是一个数域，称V是P上的一个线性空间，如果满足：
      • V对加法运算封闭
      • V对数乘运算封闭
      • 线性空间中的元素统称向量

    线性空间的性质

    • V是P上的一个线性空间，则
      • 零元素是唯一的
      • 负元素是唯一的
      • 性质三
      • 性质四


    维数，基，坐标

    • 定义
    • 基变换与坐标变换公式

    线性子空间

    子空间的交、和与直和

    • V是数域P上的线性空间，V1和V2是V的两个子空间
    • 交

    V_1\bigcap V_2=\begin{Bmatrix} \alpha \euro V|\alpha \euro V_1 \,and\, \alpha_2 \euro V_2 \end{Bmatrix}

    • 和

    V_1+V_2=\begin{Bmatrix} \alpha \euro V|\alpha=\alpha_1+\alpha_2,\alpha_1 \euro V_1\,and\,\alpha_2 \euro V_2 \end{Bmatrix}

    • 定理：V是数域P上的线性空间，V1，V2是V的两个子空间，他们的交与和均是V的子空间
    • 维数公式：如果V1，V2是线性空间V的两个子空间

    dim(V_1)+dim(V_2)=dim(V_1+V_2)+dim(V_1\bigcap V_2)

    • 直和V=V_1\bigoplus V_2​​​​​​​
      • 如果满足
        • V=V_1+V_2
        • V_1\bigcap V_2=\begin{Bmatrix} 0 \end{Bmatrix}
    • 定理：V1,V2是数域P上的线性空间V的两个子空间，下列条件彼此等价
      • V是V1，V2的直和
      • V=V1+V2 且对于线性空间中的任何一个向量，他在V1 V2中的分解式是唯一的
      • V=V1+V2 0在V1 V2中的分解式是唯一的
      • V=V1+V2 且dim(V)=dim(V1)+dim(V2) 

    线性空间的同构

    • 同构的定义：
      • V是数域P上的线性空间，V的维度为n，对于V的一组基，对于线性空间中的任意一个向量，存在唯一确定的一组数使得...
      • 这表明，n维线性空间中的向量和它的坐标之间是一一对应的。这种对应建立了n维线性空间V的线性空间P^n的一个映射。这个映射是单射的，满射的
      • 设V和V'是数域P上的两个线性空间，称V与V'同构的，如果存在V到V'的一个双射，使得对于任意的\alpha,\beta\, \euro\,V,以及任意的k\,\euro\,P，有：

    f(\alpha+\beta)=f(\alpha)+f(\beta),f(k\alpha)=kf(\alpha)

    • 同构的性质
      • f是数域P上两个线性空间V与V'之间的同构映射，则
        • f(0)=0
        • f(-a)=-f(a)
        • f(k1a1+k2a2+...+ksas)=k1f(a1)+k2f(a2)+...+ksf(as)
        • V中的向量组a1,a2,...,as线性相关 等价于 f(a1),f(a2),...f(as)线性相关
    • 线性空间的同构定理

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  • 原文地址：https://blog.csdn.net/Chandler_river/article/details/127726659