打牌的贝贝(卡特兰数+组合数学)

C-打牌的贝贝_牛客练习赛105 (nowcoder.com)

题意:

BeiBei和NingNing在玩一个卡牌游戏，共有2n张卡牌，每张牌上都有一个整数，介于1和2n之间，所有牌上的数字都是不同的。发牌阶段二人都拿到了n张牌。每个回合，游戏的过程如下:
1.若此时BeiBei没有牌了，则BeiBei判负。
2.BeiBei打出一张牌。
3.然后NingNing需要打出一张牌，使得其上的数字比BeiBei最新打出的一张牌上的数字大，如果此时NingNing无法打出这样的牌，则NingNing判负。
容易证明，该游戏总有一方会被判负。BeiBei和NingNing都足够聪明。考虑所有可能的分牌情况，使他们每个人正好分到n张牌。当BeiBei和NingNing都足够聪明时，求解出其中BeiBei、NingNing各自获胜的情况数量。
输入描述:
第一行，一个正整数T(1 每组测试数据一行,包含一个整数n(1 ≤n ≤106)。
输出描述:
对于每组数据，输出一行，包含两个整数，分别表示BeiBei、NingNing获胜的情况数量，答案对109＋7取模。
题解:

只要后手有n张比先手大的牌即可,类似让一个2*n的字符串有多少正则括号排列方式,

转成括号序列，先手的牌是左括号，后手的牌是右括号，只要是合法的括号序列后手就赢。因此后手的答案就是卡特兰数

这里要引入一个概念卡特兰数

#include
using namespace std;
const int mod = 1e9+7;
long long fact[2000060],infact[2000060];
long long qpow(long long a,long long x)
{
	long long ans = 1;
	while(x)
	{
		if(x&1)
		{
			ans = ans*a%mod;
		}
		x=x/2;
		a=a*a%mod;
	}
	return ans;
}
void init()
{
	fact[0] = infact[0]  = 1;
	for(long long i = 1;i <= 2e6;i++)
	{
		fact[i] = fact[i-1]*i%mod;
		infact[i] = infact[i-1]*qpow(i,mod-2)%mod;
	}
}
int main()
{
	init();
	ios::sync_with_stdio(false);
	cin.tie(0);cout.tie(0);
	int t;
	cin >> t;
	while(t--)
	{
		int n;
		cin >> n;
		long long x = fact[2*n]*qpow(infact[n],2)%mod*qpow(n+1,mod-2)%mod;
		cout<" "<"\n";
	}
}