【Lintcode】198. Permutation Index II

题目地址：

https://www.lintcode.com/problem/198/description

给定一个$1\sim n$的长$m$的可重复排列$A$，问该排列的字典序。字典序按从小到大排，并且计数从$1$开始。

思路和https://blog.csdn.net/qq_46105170/article/details/108544398差不多，不同的是本题每个数字可能有重复。回忆一下无重复数的全排列的康托展开。康托展开$f$是从一个全排列到其字典序排名的一个映射（这个排名是从$0$开始的）。对于一个全排列$X=(x_1,x_2,...,x_n)$，有：$$f(X)=a_1(n-1)!+a_2(n-2)!+...+a_{n}0!$$其中$a_i$指的是$x_i$右边比$x_i$小的数的个数。对于$a_1(n-1)!$可以这么想，$x_1$后面有$a_1$个数比它小，将比$x_1$小的数换到$x_1$的位置之后，产生的所有全排列都比$X$小，从而其排名应该加上$a_1(n-1)!$。

类似地，当有重复数字的时候，我们也同样考虑，$x_1$后面有$a_1$个数比它小，将比$x_1$小的数换到$x_1$的位置之后，产生的全排列有$a_1(n-1)!$个，但是这是不考虑重复的，如果考虑重复，例如我们发现$3$这个数出现了$k_3$次，那么这$k_3$个$3$的全排列本质上都是一样的，从而要除掉。令$g_i={\prod }_{s\le x_i}{k}_1!k_2!...k_s!$，$k_i$是$i$这个数字重复出现了多少次，那么修正之后的公式为：$$f(X)=a_1\frac{(n-1)!}{g_1}+a_2\frac{(n-2)!}{g_2}+...+a_{n}0!$$

代码如下：

class Solution {
public:
  /**
   * @param a: An array of integers
   * @return: A long integer
   */
  vector<int> tr;
  int n;
#define lowbit(x) (x & -x)

  void add(int k, int x) {
    for (; k <= n; k += lowbit(k)) tr[k] += x;
  }

  int sum(int k) {
    int res = 0;
    for (; k; k -= lowbit(k)) res += tr[k];
    return res;
  }

  using LL = long long;
  LL permutationIndexII(vector<int> &a) {
    // write your code here
    n = *max_element(a.begin(), a.end());
    tr.resize(n + 1);
    LL res = 0, fact = 1, mult = 1;
    // mp记录每个数的重复度
    unordered_map<int, int> mp;
    for (int i = a.size() - 1; i >= 0; i--) {
      mp[a[i]]++;
      mult *= mp[a[i]];
      add(a[i], 1);
      res += fact * sum(a[i] - 1) / mult;
      fact *= a.size() - i;
    }

    return res + 1;
  }
};
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
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24
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28
29
30
31
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33
34
35
36
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38
39

时间复杂度$O(m\log n)$，空间$O(n)$。