统计信号处理基础 习题解答6-6

题目

在本题中，我们扩展标量BLUE的结果。假定

其中θ 是待估计的未知参数，β 是已知常数，数据矢量x 的协方差矩阵是C 。在本题我们定义修正的线性估计量为

证明BLUE为：

另外求最小方差。

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解答：

首先确保线性估计量是无偏的，即满足：

此时，可以得到约束条件：

把上述得到的b 代入后可以得到：

 此时，也可以考虑存在如下变换：

写成向量形式，得到：

其中 ​​​​​​​ 为N个元素的列向量。

 变化后的 与估计量呈线性关系。

另外，考虑到：

因此，此种变换情况下，数据的协方差矩阵一样，此时对序列 ，得到BLUE估计量：

此时的最小方差满足：

此时的C 仍然是矢量x 的协方差矩阵。