统计信号处理基础 习题解答6-5

题目：

观察到的IID样本 服从对数分布：

证明均值为 。因此无偏约束不满足。使用随机变量变换 的方法，求θ 的BLUE。

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解答：

根据均值计算的定义，得到：

考虑变化：

即：

那么

因此：

于是可以得到：

其中用到了性质：

证明参考：

高斯分布的积分期望E(X)方差V(X)的理论推导_chaosir的博客-CSDN博客_高斯分布的期望和方差

因此，最终得到对数分布时：

显然，对于估计量θ 来说，不满足线性条件。或者说，找不到待定常数序列 ，使得：

此时无法得到BLUE，需要进行对数据进行变化：

且 的导数存在：

由于此变化是严格单调的，因此也就是存在：

根据概率密度函数变化的性质，得到：

其中

因此：

上述计算利用了函数变化后的概率密度计算性质，具体可以参考：

概率论中密度函数变换_bingfeiqiji的博客-CSDN博客_概率密度变换公式

可以发现 服从高斯分布，且：

根据已有的结论，得到此时θ 的BLUE为：

因此，进一步得到：

此题给出了指数分布情况下的BLUE计算，尽管原始情况下找不到待定常数序列 ，使得估计量与样本之间满足线性无偏条件，因此不能直接用BLUE性质求解。

但本题利用指数分布概率密度函数变化后的性质，通过对样本进行函数变化后，得到了指数分布情况下的BLUE估计。