假定给定区间
[
x
k
,
x
k
+
1
]
\left[x_k, x_{k+1}\right]
[xk,xk+1] 及端点函数值
y
k
=
f
(
x
k
)
,
y
k
+
1
=
f
(
x
k
+
1
)
y_k=f\left(x_k\right), y_{k+1}=f\left(x_{k+1}\right)
yk=f(xk),yk+1=f(xk+1),
要求线 性揷值多项式
L
1
(
x
k
)
=
y
k
,
L
1
(
x
k
+
1
)
=
y
k
+
1
y
=
L
1
(
x
)
L_1\left(x_k\right)=y_k, L_1\left(x_{k+1}\right)=y_{k+1}\quad y=L_1(x)
L1(xk)=yk,L1(xk+1)=yk+1y=L1(x) 的几何意义就是通过两点
(
x
k
,
y
k
)
\left(x_k, y_k\right)
(xk,yk) 与
(
x
k
+
1
,
y
k
+
1
)
\left(x_{k+1}, y_{k+1}\right)
(xk+1,yk+1) 的直线,
L
1
(
x
)
L_1(x)
L1(x) 的表达式可由几何意义直接给出
L
1
(
x
)
=
y
k
+
x
k
+
1
−
x
x
k
+
1
−
x
k
(
x
−
x
k
)
L_1(x)=y_k+\frac{x_{k+1}-x}{x_{k+1}-x_k}\left(x-x_k\right) \quad
L1(x)=yk+xk+1−xkxk+1−x(x−xk) 由上可得给定平面两点可确定一直线。
给定区间t ϵ [-1,1],得函数值 x ϵ [a,b] 端点处函数值如下表所示
| t | -1 | 1 |
|---|---|---|
| x | a | b |
由两点式方程可以构造出变换公式为：
x
=
1
2
[
(
1
−
t
)
a
+
(
t
+
1
)
b
]
x=\frac{1}{2}[(1-t) a+(t+1) b]
x=21[(1−t)a+(t+1)b]
插值存在唯一性定理叙述插值条件如下所示:
设在区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 上给定
n
+
1
\mathrm{n}+1
n+1 个点，
a
≤
x
0
<
x
1
<
⋯
<
x
n
≤
b
a \leq x_0
即当代数插值问题中所给出的插值结点是 (n+1) 个互异的结点时, 则必然存 在唯一的一个
n
\mathrm{n}
n 次揷值多项式满足所给的揷值条件。代数插值问题本质上与一 个线性方程组求解问题等价。
无区别，证明如下：
由插值余项定理可知
R
(
x
)
=
f
(
x
)
−
P
n
(
x
)
=
f
(
n
+
1
)
(
ξ
)
(
n
+
1
)
!
ω
n
+
1
(
x
)
R(x)=f(x)-P_n(x)=\frac{f^{(n+1)}(\xi)}{(n+1) !} \omega_{n+1}(x)
R(x)=f(x)−Pn(x)=(n+1)!f(n+1)(ξ)ωn+1(x)
当
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是
m
(
m
≤
n
)
\mathrm{m}(\mathrm{m} \leq n)
m(m≤n) 次多项式时
f
(
n
+
1
)
(
x
)
=
0
f^{(n+1)}(x)=0
f(n+1)(x)=0, 所以
R
(
x
)
=
0
R(x)=0
R(x)=0,
从而
f
(
x
)
=
P
n
(
x
)
f(x)=P_n(x)
f(x)=Pn(x), 所以当
f
(
x
)
f(x)
f(x) 是二次多项式时显然满足。所以无区别, 证明 完毕。
一、性质不同
二、公式意义不同
综上：拉格朗日插值法与牛顿插值法都是二种常用的简便的插值法。但牛顿法插值法则更为简便，与拉格朗日插值多项式相比较，它不仅克服了“增加一个节点时整个计算工作必须重新开始的缺点，而且可以节省乘、除法运算次数。同时，在牛顿插值多项式中用到的差分与差商等概念，又与数值计算的其他方面有着密切的关系。
Runge反例说明了用高次代数插值可能引起震荡，使得插值函数不收敛于被插函数，因而通常不用高次插值，而用分段低次插值。
移动基点使得它们在区间
[
a
,
b
]
[a, b]
[a,b] 上的相对位置和在区间
[
−
1
,
1
]
[-1,1]
[−1,1] 上一致。这 可以通过如下两步实现:
（1）使用因子
(
b
−
a
)
2
\frac{(b-a)}{2}
2(b−a) 拉伸点（这是两个区间长度的比值）
（2）将点平移
b
+
a
2
\frac{b+a}{2}
2b+a ，使得中心从 0 移动到区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 的中心。
换言之, 从原始点
:
x
k
=
cos
(
2
k
+
1
)
π
2
n
,
k
=
0
,
1
,
2
…
n
−
1
: x_k=\cos \frac{(2 k+1) \pi}{2 n}, k=0,1,2 \ldots n-1
:xk=cos2n(2k+1)π,k=0,1,2…n−1 移动到
x
i
=
b
−
a
2
cos
(
2
i
+
1
)
π
2
n
+
b
+
a
2
,
i
=
0
,
1
,
2
…
n
−
1
x_i=\frac{b-a}{2} \cos \frac{(2 i+1) \pi}{2 n}+\frac{b+a}{2}, i=0,1,2 \ldots n-1
xi=2b−acos2n(2i+1)π+2b+a,i=0,1,2…n−1
∣
(
x
−
x
i
)
…
(
x
−
x
n
)
∣
≤
(
b
−
a
2
)
n
2
n
−
1
\left|\left(x-x_i\right) \ldots\left(x-x_n\right)\right| \leq \frac{\left.\frac{(b-a}{2}\right)^n}{2^{n-1}}
∣(x−xi)…(x−xn)∣≤2n−12(b−a)n, 在区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 上成立。
埃尔密特插值: 有时候, 我们不仅要求插值函数在给定节点上函数值重 合, 而且要求若干阶导数重合; 即: 要求插值函数
φ
(
x
)
\varphi(x)
φ(x) 满足:
φ
(
x
i
)
=
f
(
x
i
)
φ
′
(
x
i
)
=
f
′
(
x
i
)
φ
′
′
(
x
i
)
=
f
′
′
(
x
i
)
φ
(
n
)
(
x
i
)
=
f
(
n
)
(
x
i
)
什么是样条插值：简言之，就是依然对每一个小区间进行插值，但是我们不需要依赖于导数的已知；由于我们要做的就是使得端点处满足某种条件的光滑（一般来说，三次样条插值就是要满足二阶导数连续），根据这个要求，我们就可以在未知导数的情况下推导出样条函数。
因此，样条插值特点：可以在未知导数的情况下推导出样条函数
二次样条揷值:
若
Δ
:
a
=
x
0
<
x
1
<
x
2
…
<
x
n
=
b
\Delta: \mathrm{a}=x_0
（1） 在每个小区间
[
x
i
,
x
i
+
1
]
(
i
=
0
,
1
,
⋯
,
n
)
\left[x_i, x_{i+1}\right](\mathrm{i}=0,1, \cdots, \mathrm{n})
[xi,xi+1](i=0,1,⋯,n) 上
S
(
x
)
\mathrm{S}(\mathrm{x})
S(x) 是二次多项式;
（2）
S
(
x
)
\mathrm{S}(\mathrm{x})
S(x) 在区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 上连续, 则称
S
(
x
)
\mathrm{S}(\mathrm{x})
S(x) 为区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 上的二次样条函数。
如果
S
(
x
)
\mathrm{S}(\mathrm{x})
S(x) 还满足
S
(
x
i
)
=
y
i
,
(
i
=
0
,
1
,
…
n
)
S\left(x_i\right)=y_i,(i=0,1, \ldots n)
S(xi)=yi,(i=0,1,…n) 则称
S
(
x
)
\mathrm{S}(\mathrm{x})
S(x) 为区间
[
a
,
b
]
[\mathrm{a}, \mathrm{b}]
[a,b] 上的二次样条 插值函数。