前缀和与差分

目录

一、前缀和

二、差分

1：一维差分

（1）一维差分的概念

（2）一维差分的代码展现

2：二维差分

（1）二维差分的概念与二维前缀和

（2）二维差分的实现​​​​​​​

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一、前缀和

什么是前缀和呢？

在一个数组中，a[0]~a[i]它的前缀和sum[i]=a[0]+...+a[i]。很显然我们可以以得出a[i]=sum[i]-sum[i-1]。这就是前缀和的大致思想

二、差分

1：一维差分

（1）一维差分的概念

定义一个差分数组d[i],它的定义是d[i]=a[i]-a[i-1]。易得出差分是前缀和逆运算。那么差分有什么应用呢？

比如说给定一个数组，一开始是有初值的，现在在一定的区间进行m次修改，可能加，可能减，求最后得出的数组值。你如果一个一个操作，毫无疑问数据范围大的肯定超时，这时候就要用到差分知识了。假如在[l,r]区间加1，那么该如何操作呢，应该是d[l]+=1,d[r+1]-=1。

为什么是这样子呢？因为d[i]是差分数组，所以我们知道a[i]=a[i-1]+d[i],也就是说这里的a[i]就相当于是d[i]的前缀和,换句话说a[i]=d[1]+d[2]+d[3]+...+d[i]，在[l,r]区间进行修改，d[l]+=1,d[r+1]-=1,那么在区间l前其实并未修改，而在l后却修改了，但是r+1却又将r后面的区间又抵消了。具体我们看下代码的展现吧。

（2）一维差分的代码展现

#include
using namespace std;
const int N=1e3+10;
int a[N],d[N];
int n,m,l,r,q;
 
int main()
{
	cin>>n>>m;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		cin>>a[i];
		d[i]=a[i]-a[i-1];
	}
	while(m--){
		cin>>l>>r>>q;
		d[l]+=q;
		d[r+1]-=q;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		a[i]=a[i-1]+d[i];
		cout<" ";
	}
	return 0;
}
/*
5 3
1 2 3 4 5
1 1 3
1 2 1
2 2 4
*/

2：二维差分

（1）二维差分的概念与二维前缀和

一维差分是好，但也是有局限性的，比如说上面的只是一次查询操作，但如果是多次呢并且查询是单点查询和区间查询呢。这个后面的树状数组以及线段树可以解决，偏题了！！！

比如说这样一道题目吧。

描述

给你一个 n 行 m 列的矩阵 A ，下标从1开始。

接下来有 q 次查询，每次查询输入 4 个参数 x1 , y1 , x2 , y2

请输出以 (x1, y1) 为左上角 , (x2,y2) 为右下角的子矩阵的和，

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.

接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行4个整数x1, y1, x2, y2，分别代表这次查询的参数

1 \le n, m \le 10001≤n,m≤1000
1 \le q \le 10^51≤q≤105
-10^9 \le a[i][j] \le 10^9−109≤a[i][j]≤109
1 \le x_1 \le x_2 \le n1≤x1​≤x2​≤n
1 \le y_1 \le y_2 \le m1≤y1​≤y2​≤m

输出描述：

输出q行，每行表示查询结果。

题解：如果这样子的题目你觉得还能用一维数组吗？很明显不能，同时你要是一个一个求，这个复杂度我就不多说了吧，过不了。那么就需要用到我们的二维差分了。与一维差分一样，它也有一个差分数组d[i][j]，表示的是d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1]（大家可以画一个二维坐标感受一下，挺好懂的），那么求的话可以分为直接求前缀和和二维差分前缀和。偏题了，写看下该题怎么写吧。代码如下：

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
ll n,m,q;
ll a[1010][1010];
 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(-1);
	cin>>n>>m>>q;
	for(ll i=1;i<=n;i++){
		for(ll j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
		}
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			a[i][j+1]+=a[i][j];
		}
	}
	for(int j=1;j<=m;j++){
		for(int i=1;i<=n;i++){
			a[i+1][j]+=a[i][j];
		}
	}
	while(q--){
		//TODO
		int x1,y1,x2,y2;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2;
		cout<-1]-a[x1-1][y2]+a[x1-1][y1-1]<
	}
	return 0;
}

（2）二维差分的实现

在二维空间中如果对指定的区域进行修改，该如何做呢？与一维数组，一样，创建一个二维差分数组即可，它的公式就是（1）点上面的，其实也都是模板滴啦，我们来看一道模板题，大家就知道了。

描述

给你一个n行m列的矩阵，下标从1开始。
接下来有q次操作，每次操作输入5个参数x1, y1, x2, y2, k
表示把以(x1, y1)为左上角,(x2,y2)为右下角的子矩阵的每个元素都加上k，
请输出操作后的矩阵。

 

输入描述：

第一行包含三个整数n,m,q.
接下来n行，每行m个整数，代表矩阵的元素

接下来q行，每行5个整数x1, y1, x2, y2, k，分别代表这次操作的参数

1\le n,m \le 10001≤n,m≤1000
1\le q \le 10^51≤q≤105
1\le x1 \le x2 \le n1≤x1≤x2≤n
1\le y1 \le y2 \le m1≤y1≤y2≤m
-10^9 \le 矩阵中的元素 \le 10^9−109≤矩阵中的元素≤109

输出描述：

输出n行，每行m个数，每个数用空格分开，表示这个矩阵。

示例1

输入：

2 3 4
1 2 3
4 5 6
1 1 2 2 3
1 2 2 3 -1
1 1 1 3 4
1 1 2 1 1

复制输出：

9 8 6
8 7 5

#include
using namespace std;
typedef long long ll;
const int N=1e3+10;
ll a[N][N],d[N][N];
ll n,m,q;
 
int main()
{
	ios::sync_with_stdio(-1);
	cin>>n>>m>>q;
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			cin>>a[i][j];
			d[i][j]=a[i][j]-a[i-1][j]-a[i][j-1]+a[i-1][j-1];
		}
	}
	
	while(q--){
		ll x1,y1,x2,y2,k;
		cin>>x1>>y1>>x2>>y2>>k;
		d[x2+1][y2+1]+=k;
		d[x1][y1]+=k;
		d[x1][y2+1]-=k;
		d[x2+1][y1]-=k;
	}
	for(int i=1;i<=n;i++){
		for(int j=1;j<=m;j++){
			a[i][j]=a[i-1][j]+a[i][j-1]+d[i][j]-a[i-1][j-1];
			cout<" ";
		}
		cout<
	}
	return 0;
}