ln函数的导数

我们都知道，$\ln$函数的导数为$\frac{1}{x}$，但怎么证明呢？

设$y=\ln x$
则$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{\ln (x+\Delta x)-\ln x}{\Delta x}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\frac{1}{\Delta x}\ln (1+\frac{\Delta x}{x})$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\ln (1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\frac{1}{\Delta x}}$

$=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\ln ((1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\frac{x}{\Delta x}}{)}^{\frac{1}{x}}$

$\because e=\underset{x\to 0}{\lim }(1+x{)}^{\frac{1}{x}}$

$\therefore \underset{\Delta x\to 0}{\lim }(1+\frac{\Delta x}{x}{)}^{\frac{x}{\Delta x}}=e$

所以$y^{\prime }=\underset{\Delta x\to 0}{\lim }\ln e^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}$

补充

$({\log }_{a}x{)}^{\prime }=(\frac{\ln x}{\ln a}{)}^{\prime }=\frac{1}{\ln a}\cdot (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}$

所以${\log }_{a}x$的导数为$\frac{1}{x\ln a}$